Распределение Стьюдента

Распределение Стьюдента, которое также именуется t-распределением, имеет огромное значение: с его помощью проверяют гипотезы о равенстве средних значений случайных величин. Функция распределения Стьюдента можно выразить

интегралом:

7^—fc- I1 г[|]

х², i±l + -] 2 dx

(3.20)

Плотность вероятности имеет вид:

• 1 Г[Ч^] Гг 7=—f— [i+ J 2 r[f] Л к
• (3.21)

где к - число степеней свободы, Г - гамма-функция, выражаемая интегралом:

Г(х) = j У*^-1 e~^ydx

(3.22)

Число степеней свободы зависит от числа измерений и случайной величины и от существа поставленной задачи. Если проверяется гипотеза о равенстве вычисленного среднего значения какому-то заранее заданному числу, то k = п - 1. Если сравниваются два средних значения из двух совокупностей с числом измерений П| и п₂, то k = ni + п₂ - 2. Могут быть и другие варианты гипотез.

Из функции (3.21) следует, что случайная величина t может принимать любые значения в пределах от - оо до + оо.

Особенность распределения Стьюдента состоит в том, что его функции зависят от числа степеней свободы, а они, в свою очередь, - от числа измерений. При увеличении значения к распределение приближается к нормальному и в пределе (при к = оо) совпадает с ним. Практически уже при к = 20 можно пользоваться таблицами нормального распределения.

Функция распределения (3.20) обычно приводится в табличном виде. В таблице 3.4 приведены лишь некоторые значения, по которым видно, как с увеличением числа к функция распределения Стъюдента приближается к нормальному закону (последняя графа таблицы 3.4).

Таблица 3.4 - Функция распределения Стьюдента Fk(t) в зависимости от числа степеней свободы к.

Плотность вероятности (3.21) имеет симметричный график, похожий на кривую нормального закона, но более вытянутый по горизонтальной оси (рисунок 3.9). При увеличении значения к график приближается к кривой нормального закона.

Рисунок 3.9 - График плотности распределения Стьюдента. При к = оо распре

деление совпадает с нормальным

Значения плотности вероятности обычно находят по таблицам, но их не

сложно вычислить, преобразовав формулу (3.21) к следующему виду:

+ 1> А

• —)^rt2>
• (3.23)

A(t) = -^(1 + -) 2 дк = г

V7T& *

Для нахождения А_к достаточно знать одно значение, например А] = 1/л/л- , и далее пользоваться рекуррентной формулой (формула, выражающая каждый член последовательности через предыдущих членов) A_k+i=K/2A_k. Так, А₂ = л/л72 , А₃ = 2/л/тг и т.д. Некоторые значения плотности вероятности приведены в таблице 3.5. Последняя графа соответствует нормальному распределению.

Асимметрия распределения Стьюдента равна нулю, а эксцесс отрицательный. Как и в случае нормального закона, для распределения Стьюдента может быть вычислина функция Фк(0 = 2Fk(t) - 1, которая характеризует вероятность q попадания случайной величины в симметричный интервал от -t до +t.

Таблица 3.5 - Плотность вероятности распределения Стьюдента fk(t) в зависимости от числа степеней свободы к

На практике для принятия решений чаще используется противоположный показатель В = 1 - q. Можно составить таблицу зависимости В от t при различных степенях свободы к. Но гораздо важнее знать обратную функцию: чему равно значение коэффициента t при заданной вероятности В и известной степени свободы к (таблица 3.6), так как коэффициент t часто используют в качестве критерия принятия решений. Именно такие таблицы с различными вариациями и приводятся в разнообразных справочниках. Например, задана вероятность В = 0,05 = 5 % и число степеней свободы к - 15. Из таблицы 3.6 имеем t = 2,131.

Если число степеней свободы велико (несколько десятков и более), то можно пользоваться таблицами нормального закона (таблица 3.3). Так, при В = 0,01 имеем q = 1 - В = 1 - 0,01 = 0,99 и по таблица 3.3 находим t = 2,576.

Таким образом, распределения нормальное и Стьюдента близки между собой. При малом числе измерений (и, соответственно, степеней свободы) более надежные выводы могут быть сделаны по таблицам распределения Стьюдента, а при большом числе наблюдений следует пользоваться таблицами нормального закона распределения случайных величин.

Таблица 3.6 - Коэффициенты вероятности t распределения Стьюдента при заданной вероятности В и степени свободы к

продолжение таблицы 3.6