Проверка соответствия распределения случайной компоненты нормальному закону распределения

Поскольку временные ряды экономических показателей, как правило, невелики (<50), то проверка распределения на нормальность может быть произведена лишь приближенно, например, на основе исследования показателей асимметрии и эксцесса.

При нормальном распределении показатели асимметрии (А) и эксцесса (Э) равны нулю. Исходя из предположений о том, что отклонения от тренда представляют собой выборку из некоторой генеральной совокупности, то можно определить выборочные характеристики асимметрии (Ав) и эксцесса ( Эв), а также их среднеквадратические ошибки.

Выборочный коэффициент асимметрии (Ав) рассчитывается по формуле:

?и₃ _ т₃ (2.9)

^в=-'⁼^'

Выборочный коэффициент эксцесса (Эе) рассчитывается по формуле:

(2.Ю)

Центральный момент второго порядка (т₂) рассчитывается по формуле:

(2.П)

Центральный момент третьего порядка (w₃) рассчитывается по формуле:

т₃ .

^п (2.12)

Центральный момент четвертого порядка (т_д) рассчитывается по формуле:

/=1.

п

(2.13)

где х. - уровни ряда остатков;

х - выборочная средняя ряда остатков; п - число уровней ряда остатков.

Если одновременно выполняются следующие неравенства:

|42|<1>5<т_л; (2.14)

| п + 1

(2.15) то гипотеза о нормальном характере распределения случайной компоненты не отвергается.

а_А - среднеквадратическая ошибка выборочной характеристики асимметрии:

а_э - среднеквадратическая ошибка выборочной характеристики

эксцесса:

• (2.16)
• (2.17)
• 24п(п - 2)(п - 3) (п + 1)²(и + 3)(» + 5)

Если выполняется хотя бы одно из неравенств

|л ⁺7+1|~^2<Тэ’

то гипотеза о нормальном характере распределения отвергается и трендовая модель считается неадекватной.

Выявление наличия автокорреляции в отклонениях от тренда (выявление независимости значений уровней случайной компоненты)

Корреляция, возникающая между уровнями изучаемой переменной, называется автокорреляцией.

Явление автокорреляции в основном присуще данным, представленным в виде временных рядов.

Автокорреляция остатков (отклонений от тренда) трендовой модели

(или случайных ошибок уравнения тренда) - корреляционная зависимость между настоящими е и прошлыми е_г_, значениями остатков.

Наиболее распространенным примером выявления наличия автокорреляции в отклонениях от тренда является использование критерия Дарбина - Уотсона, который рассчитывается по формуле:

, (2.18)

где d - критерий Дарбина-Уотсона;

e_t - уровень ряда остатков;

^et- ~ уровень ряда остатков, смещенного на единицу;

п - количество уровней ряда остатков;

^et ⁼ У/ 'Ус

Теоретическое основание применения этого критерия обусловлено тем, что в динамических рядах как сами наблюдения, так и отклонения от них распределяются в хронологическом порядке.

При условии, что отклонения уровней от тенденции (так называемые остатки) случайны, значения d, лежащие в интервале [0;4] , всегда будут находиться ближе к 2. Если автокорреляция положительная, то d < 2; отрицательная 2<= d <= 4. Следовательно, оценки, получаемые по критерию, являются не точечными, а интервальными. Их значения для трех уровней значимости (а = 0,01; а = 0,025; а = 0,05) с учетом числа наблюдений даны в специальных таблицах.

Если в остатках существует полная положительная автокорреляция, то d = 0, если в остатках полная отрицательная автокорреляция, то d = 4, если автокорреляция остатков отсутствует, то d = 2. Следовательно 0 < d < 4.

Алгоритм выявления автокорреляции остатков на основе критерия Дарбина - Уотсона следующий. Выдвигается гипотеза Но об отсутствии автокорреляции остатков. Альтернативные гипотезы Н и Н* состоят, соответственно, в наличии положительной или отрицательной автокорреляции в остатках. Далее по специальным таблицам определяются критические значения критерия Дарбина - Уотсона d_L и du для заданного числа наблюдений п, числа независимых переменных к исследуемой модели и уровня значимости а. По этим значениям числовой промежуток [0;4] разбивают на пять отрезков. Принятие или отклонение каждой из гипотез с вероятностью (1 - а) рассматривается на рисунке 2.1.

Есть Есть

“и

Рисунок 2.1- Механизм проверки гипотезы о наличии автокорреляции остатков

Если фактическое значение критерия Дарбина - Уотсона попадает в зону неопределенности, то на практике предполагают существование автокорреляции остатков и отклоняют гипотезу Н_о .

! Внимание: Рассматриваемый критерий дает достоверные результаты только для больших выборок!

Проверка равенства математического ожидания случайной остаточной последовательности нулю

Проверка равенства математического ожидания случайной остаточной последовательности е нулю, распределенной по нормальному закону, осуществляется на основе t - критерия Стьюдента, т.е.

(2.19)

где е - арифметическое среднее значение случайной последовательности;

а - стандартное отклонение.

Гипотеза равенства математического ожидания случайной остаточной последовательности нулю отклоняется, если tdae >toad. ^с заданным уровнем значимости а и числом степеней свободы к = п -1.