Аналитическая систематизация логических отношений в классической логике высказываний

Классическая логика высказываний - одна из фундаментальных, базисных теорий современной логики. Разрабатываемые в ней проблемы имеют не только собственно логическую, но и широкую методологическую значимость. К таковым относятся и рассматриваемые здесь вопросы, связанные с логическими отношениями между высказываниями. Они существенны для любого сколько-нибудь развернутого концептуального построения.

Поскольку логические отношения между высказываниями (и другими видами мыслей) выявляются путем сопоставления их логических форм, то следует уточнить важнейшие характеристики самих логических форм.

Становление теоретической логики связано с трудами Аристотеля. Переход от дотеоретического, предтеоретического уровня логической культуры к теоретическому может быть зафиксирован вполне определенно. Он происходит на основании двух кардинальных достижений в области логического знания: введения в логику переменных и открытия в результате этого логической формы, что в итоге дало Аристотелю возможность построить в виде системы первую логическую теорию.

Ян Лукасевич отмечает: «Введение в логику переменных является одним из величайших открытий Аристотеля»[1]. Оценивая значимость для развития логики этого достижения, он сравнивает его с введением переменных в математику: «.. .каждый математик

знает, что введение в арифметику переменных положило начало новой эпохе в этой науке»[2]. В данном контексте интересна ссылка, которую приводит Я. Лукасевич: «Мне было приятно узнать, что сэр Дэвид Росс в своем издании “Аналитик”... подчеркивает, что именно благодаря использованию переменных Аристотель стал основателем формальной логики».

Применение переменных - необходимое условие открытия логической формы. В связи с этим существенно отметить, что логическая форма высказывания, например «Некоторые птицы летают», не содержится непосредственно в самом высказывании. Выявление его логической формы не есть простое извлечение ее из конкретного содержания данного предложения. Логическая форма этого высказывания - «Некоторые S есть Р» — является результатом обобщающе-абстрагирующей деятельности познающего интеллекта. Ее открытие подразумевает, что все термины, входящие в анализируемое высказывание, разграничиваются по соответствующему принципу на логические и дескриптивные; затем логические термины обозначаются определенными константами, а дескриптивные - соответствующими переменными. В результате чего и получается выражение, фиксирующее логическую форму, логическую структуру анализируемого предложения. Введение переменных вместо дескриптивных терминов как раз обеспечивает соответствующий уровень обобщения, синтеза, который связан с переходом логического знания к теоретическому этапу развития.

Таким образом, логическая форма и представленное ею логическое содержание анализируемого высказывания не есть готовая часть данного высказывания, непосредственно извлекаемая из него, а является новым смысловым теоретическим образованием, конструктом, возникающим в результате соответствующей обобщающе-абстрагирующей мыслительной операции.

Итак, переход логического знания на теоретический уровень осуществляется в результате открытия логической формы, кото-

рое базируется на введении в логику переменных, что, в свою очередь, предполагает деление терминов естественного языка на логические и дескриптивные. Возникает вопрос о критериях данного деления. Критерий же этого различия можно определить довольно простым образом, апеллируя к логическим отношениям: логическими терминами являются те, от содержания которых зависят логические отношения между высказываниями, дескриптивными - те, от конкретного содержания которых логические отношения не зависят. Именно в силу этого их можно заменить переменными.

Это вовсе не значит, что дескриптивные термины не играют сколько-нибудь существенной роли в логической структуре высказываний и их логических связях. Логическая роль дескриптивных терминов - в соответствии их синтаксическим требованиям в структуре предложений, в фиксации в этой структуре синтаксических мест определенных семантических категорий. Ну и, конечно же, от их конкретного содержания зависит истинность или ложность высказываний; однако к правильности или неправильности рассуждений это прямого отношения уже не имеет, хотя в отдельных случаях может быть показателем, своеобразным индикатором неправильности: если посылки истинны, а заключение ложно, то рассуждение неправильно.

В связи с рассмотренными здесь особенностями логических форм следует обратить внимание на некоторые характеристики логики, порой используемые в методологической литературе. Иногда отмечается, что логика, исследуя рассуждения, имеет дело с формами и отвлекается от содержания высказываний, порой уточняется, что отвлекается от конкретного содержания. Существенно при этом уяснить, от чего именно происходит отвлечение в логических формах.

Дело в том, что логическая форма высказывания не абстрагируется полностью от его содержания. Логическая форма фиксирует важные содержательные аспекты высказывания. От этих содержательных аспектов зависит в том числе истинность или ложность конкретных высказываний: из истинного высказывания «Некоторые птицы есть летающие» можно получить ложное путем замены исключительно логических терминов - «Все птицы не есть летающие». В этой связи существенно отметить, что конкретным содержанием высказывания называют как раз ту его часть, от которой не зависят логические отношения рассматриваемого высказывания с другими высказываниями, в силу чего от этой части содержания высказывания можно отвлечься при рассмотрении соответствующих проблем логического характера.

Таким образом, важно иметь в виду, что логическая форма есть такой языковой конструкт, в котором в результате специфического абстрагирования и обобщения фиксируется та часть содержания языковых выражений, от которой зависят исследуемые логические связи между ними, и происходит отвлечение от той части содержания, от которой логические связи не зависят.

Введением переменных для выявления логической структуры простых категорических высказываний и силлогистических рассуждений Аристотель не только открыл понятие логической формы, но и положил начало структурному анализу языковых интеллектуальных конструктов в зависимости от целей логического исследования. Логическая форма как определенная структура языковых проявлений мысли является результатом специфического анализа языкового выражения. Этот анализ может проводиться с разной степенью глубины и детализации в зависимости от стоящих теоретических задач и целей. Если, например, исследуются такие логические отношения, которые не зависят от внутренней структуры простых высказываний, то эта структура не раскрывается и высказывания заменяются переменными (что, в отличие от силлогистических теорий, имеет место в логике высказываний).

Важнейшими логическими отношениями между высказываниями считаются следующие: совместимость (несовместимость) высказываний по истинности, совместимость (несовместимость) по ложности, логическое следование (неследование), логическое подчинение, логическая эквивалентность, противоречие, противоположность, подпротивоположность, логическая независимость.

Наиболее удачным, прозрачным по содержанию представляется такой подход, когда при определении логических отношений между высказываниями в качестве исходных, базисных, используются отношения совместимости (несовместимости) по истинности, совместимости (несовместимости) по ложности и отношение логического следования (исследования)[3]. Истоком данного метода является знаменитый логический квадрат, наглядным образом систематизирующий логические отношения между простыми категорическими высказываниями. В настоящее время этот подход в усовершенствованном виде используется также и в логике высказываний с применением табличного метода.

Поскольку в логической литературе имеются расхождения в трактовке логических отношений между высказываниями, то для уточнения предмета обсуждения целесообразно привести здесь определения этих отношений. Так как логические отношения между высказываниями зависят от их логических форм, а их логические формы предстают в языках логики в виде соответствующих формул, то при определении логических отношений речь будет идти в дальнейшем о формулах. Предлагаемый здесь способ аналитической систематизации логических отношений между формулами, представленный далее дефинициями DI - ?>9, будет обозначаться как вариант 1.

Вариант 1.

D1. Формулы А и В совместимы по истинности, если и только если (далее - е.т.е.) они обе могут быть одновременно истинными. В ином случае А и В несовместимы по истинности. Содержательно совместимость формул А и В по истинности значит, что возможны два истинных высказывания, одно из которых имеет логическую форму А, а второе - В, то есть нелогическим символам, входящим в формулы А и В, может быть дана такая интерпретация, при которой обе эти формулы становятся истинными высказываниями. Применительно к конкретным высказываниям А1 и В1 можно сказать, что они совместимы по истинности, если существует такой возможный мир, в котором они оба являются

истинными. Интересно отметить, что такой, казалось бы, простой вопрос, как совместимость высказываний по истинности, может подразумевать обращение к философской идее возможных миров.

D2. Формулы А и В совместимы по ложности, е.т.е. они обе могут быть одновременно ложными. В ином случае они несовместимы по ложности. (Содержательные разъяснения аналогичны предыдущим.)

D3. Из формулы А логически следует формула В, е.т.е. в силу логической структуры А и В невозможна ситуация, когда формула А истинна, а В при этом ложна. В ином случае из формулы А логически не следует формула В. (Здесь отношение логического следования трактуется в соответствии с классической логикой.) Применительно к конкретным высказываниям А1 и В1 содержательно это значит, что невозможна ситуация, когда существуют два высказывания, первое из которых имеет ту же логическую форму, что Л1, а второе - ту же логическую форму, что 51, и при этом первое истинно, а второе ложно.

Далее на базе отношений, указанных в DI-D3, определяются все другие важнейшие логические отношения между формулами.

D4. Формула А логически подчиняет формулу В, е.т.е. из А логически следует В и из В не следует Л.

D5. Формулы А и В логически эквивалентны, е.т.е. из Л логически следует В и из В логически следует Л.

D6. Формулы Л и В находятся в отношении противоречия, е.т.е. они несовместимы по истинности и несовместимы по ложности.

D7. Формулы Л и В находятся в отношении противоположности, е.т.е. они несовместимы по истинности, совместимы по ложности и между ними нет отношения логического следования.

D8. Формулы А и В находятся в отношении подпротивоположности, е.т.е. они совместимы по истинности, несовместимы по ложности и между ними нет отношения логического следования.

D9. Формулы Л и В логически независимы, е.т.е. они совместимы по истинности, совместимы по ложности и между ними нет отношения логического следования.

В фундаментальном труде Е. К. Войшвилло и М. Г. Дегтярева[4] показана возможность определения всех важнейших логических отношений на базе отношения логического следования и операции отрицания, что выявляет существенные аспекты аналитических связей в системе логических отношений между высказываниями. Эта возможность будет обозначаться далее как вариант 2.

Наряду с зафиксированными здесь двумя вариантами системного представления логических зависимостей между высказываниями для более полного раскрытия аналитических взаимосвязей логических отношений между высказываниями существенно выявить и иные возможности, иные варианты взаимоопределимости данных отношений. (Предлагаемые далее варианты систематизации логических отношений между высказываниями рассматривались автором ранее в краткой тезисной форме.)

Вариант 3.

Теорема 1. Все важнейшие логические отношения между высказываниями можно определить, используя в качестве базиса только отношение совместимости (несовместимости) по истинности и операцию отрицания (важнейшими здесь будут называться логические отношения между формулами, указанные BD1-D9).

Учитывая вариант 2, для доказательства этой теоремы достаточно на данном базисе определить отношение логического следования. Однако для более подробного раскрытия аналитических связей в системе логических отношений между высказываниями целесообразно это сделать, исходя из варианта 1 как содержательно более развернутого и прозрачного.

Поскольку в определениях DI-D9 (см. вариант 1) в качестве базисных использовались только отношения совместимости (несовместимости) по истинности, совместимости (несовместимости) по ложности и логического следования (неследования), то для доказательства теоремы 1 достаточно на указанном в ней базисе определить отношения совместимости (несовместимости) по ложности и логического следования (неследования).

  • ?>1.1. Формулы Л и В совместимы по ложности, е.т.е. их отрицания (-'А и -В) совместимы по истинности.
  • ?>1.2. Формулы А и В несовместимы по ложности, е.т.е. их отрицания (-'А и “•?) несовместимы по истинности.
  • ?>1.3. Из формулы А логически следует формула В, е.т.е. А и ~АЗ несовместимы по истинности. Если А и ~В совместимы по истинности, то из А логически не следует В.

Вариант 4.

Теорема 2. Все важнейшие логические отношения можно определить, используя в качестве базиса только совместимость (несовместимость) по ложности и операцию отрицания.

Учитывая вариант 2, здесь, как и в предыдущем случае, для доказательства достаточно определить отношение логического следования; но по тем же соображениям доказательство осуществляется, исходя из варианта 1. Основываясь на варианте 1, для доказательства достаточно определить на указанном в теореме 2 базисе отношения совместимости (несовместимости) по истинности и логического следования (неследования).

D2.1. Формулы Ап В совместимы по истинности, е.т.е. их отрицания (~^А и “??) совместимы по ложности.

  • ?>2.2. Формулы А и В несовместимы по истинности, е.т.е. их отрицания (~А и -'В) несовместимы по ложности.
  • ?>2.3. Из формулы А логически следует формула В, е.т.е. и В несовместимы по ложности. Если же и В совместимы по ложности, то из А логически не следует В.

Вариант 5.

Теорема 3. Все важнейшие логические отношения между высказываниями можно определить, используя в качестве базиса только совместимость (несовместимость) по истинности и со вместимость (несовместимость) по ложности. Учитывая теоремы 1 и 2, для доказательства достаточно определить операцию отрицания.

7)3.1. Отрицание есть такая унарная операция, в результате применения которой к формуле образуется новая формула, несовместимая с исходной ни по истинности, ни по ложности. Существенно отметить, что эта дефиниция говорит о том, что использование отрицания в определении логических отношений фактически равносильно использованию отношения противоречия. Это значит, что, учитывая дефиниции D1.3, 7)2.3 и 7)3.1, можно построить следующие определения отношения логического следования. Из формулы А логически следует формула В, е.т.е. формула А несовместима по истинности со всякой формулой, которая несовместима с формулой В ни по истинности, ни по ложности. Из формулы А логически следует формула В, е.т.е. формула В несовместима по ложности со всякой формулой, которая несовместима с формулой А ни по истинности, ни по ложности.

Варианты 1 и 5 могут считаться однородными по базису, поскольку в их базисе используются только логические отношения. Варианты же 2, 3, 4 в некотором роде «смешанные», так как их базис содержит логические отношения и логическую операцию (отрицание). «Смешанные» варианты можно преобразовать в однородные. Поскольку использование операции отрицания семантически равносильно использованию отношения противоречия (см. 7)3.1), то, заменив в базисе «смешанных» вариантов 2, 3, 4 эту операцию на отношение противоречия, можно получить аналогичные им однородные варианты (2.1), (3.1), (4.1).

Для аналитической систематизации логических отношений между высказываниями существенен вопрос о минимизации базиса их определимости. В связи с этим здесь предлагаются следующие новые варианты определимости данных отношений.

Вариант 6.

Теорема 4. Все важнейшие отношения между высказываниями могут быть определены на базе отношений совместимости (несовместимости) по истинности и противоречия. Учитывая исходный вариант, для доказательства достаточно определить совместимость (несовместимость) по ложности и логическое следование (неследование).

  • 7)4.1. Формулы А и В совместимы по ложности, е.т.е. формула, находящаяся в отношении противоречия с Л, совместима по истинности с формулой, находящейся в отношении противоречия с В. В ином случае А и В несовместимы по ложности.
  • 7)4.2. Из формулы А логически следует формула В, е.т.е. формула А и формула, находящаяся в отношении противоречия с В, несовместимы по истинности. В ином случае из А логически не следует В.

Вариант 7.

Теорема 5. Все важнейшие отношения между высказываниями могут быть определены на базе отношений совместимости (несовместимости) по ложности и противоречия. Учитывая вариант 6, для доказательства достаточна следующая дефиниция.

7)5.1. Формулы А и В совместимы по истинности, е.т.е. формула, находящаяся в отношении противоречия с А, совместима по ложности с формулой, находящейся в отношении противоречия с В. В ином случае А и В несовместимы по истинности.

На основании вариантов 6 и 7 можно минимизировать базис взаимоопределимости следующим образом.

Вариант 8.

Теорема 6. Все важнейшие отношения между высказываниями можно определить на базе отношений совместимости (несовместимости) по истинности и несовместимости по ложности. Учитывая вариант 6, для доказательства достаточно определить отношение противоречия. Легко видеть, что исходный базис позволяет сделать это обычным образом:

7)6.1. Формулы А и В находятся в отношении противоречия, е.т.е. они несовместимы по истинности и несовместимы по ложности.

Вариант 9.

Теорема 7. Все важнейшие отношения между высказываниями можно определить на базе отношений совместимости (несовместимости) по ложности и несовместимости по истинности. Учитывая вариант 7, для доказательства достаточно определить отношение противоречия. Наличие в базисе отношений несовместимости по истинности и несовместимости по ложности дает возможность построить определение отношения противоречия, е.т.е. воспроизвести дефиницию ?>6.1.

Из того что известно в опубликованной литературе о взаимосвязях логических отношений в классической логике высказываний, представленные здесь варианты 8 и 9 являются минимальными по базису. Интересно, что возможны два равноправных варианта минимизации базиса. Между этими вариантами имеется своеобразная симметрия. Один из аспектов этой симметричности состоит в том, что в обоих вариантах содержится в базисе общее ядро (несовместимость по истинности и несовместимость по ложности). К данному ядру в варианте 8 добавляется совместимость по истинности, а в варианте 9 - совместимость по ложности. Второй аспект симметричности можно узреть в том, что совместимости по истинности в одном из вариантов противостоит совместимость по ложности - в другом; несовместимости по истинности (ложности) в одном варианте противостоит несовместимость по ложности (истинности) - в другом.

Существенной характеристикой логических отношений между высказываниями является их связь с законами логики и определенная производность от них, что важно отметить в контексте формирования и развития логической культуры в целом.

Теорема 8. Все важнейшие логические отношения между высказываниями можно определить на базе законов логики. Каждая из доказанных здесь ранее теорем 1-3 указывает свой вариант относительно краткого доказательства теоремы 8. Однако методологически полезно показать взаимосвязь логических отношений и законов логики в развернутом виде, что и делается в следующих дефинициях.

D8.1. Формулы А и В совместимы по истинности, е.т.е. -(АлВ) - не закон логики.

D8.2. Формулы А и В несовместимы по истинности, е.т.е. —'(А/В) - закон логики.

D8.3. Формулы А и В совместимы по ложности, е.т.е. А^В -не закон логики.

  • ?>8.4. Формулы А и В несовместимы по ложности, е.т.е. АЧВ -закон логики.
  • ?>8.5. Из формулы А логически следует формула В, е.т.е. А—>В - закон логики.
  • ?>8.6. Из формулы А логически не следует формула В, е.т.е. А—>В - не закон логики.

DK.'l. Формула А логически подчиняет формулу В, е.т.е. А—>В - закон логики и В^А - не закон логики.

  • ?>8.8. Формулы А и В логически эквивалентны, е.т.е. А^В -закон логики и В—>А - закон логики.
  • ?)8.9. Формулы А и В находятся в отношении противоречия, е.т.е. -,(Лл?) - закон логики и AVB - закон логики.
  • ?>8.10. Формулы А иВ находятся в отношении противоположности, е.т.е. -•(АлВ) - закон логики, AVB - не закон логики, А^>В -не закон логики и В^>А - не закон логики.
  • ?>8.11. Формулы А и В находятся в отношении подпротивоположности, е.т.е. А/В - закон логики, _,(ЛД2?) - не закон логики, А^В - не закон логики и В^>А - не закон логики.
  • ?>8.12. Формулы А и В логически независимы, е.т.е. _,(у4л5) -не закон логики, А^В - не закон логики, А^>В - не закон логики и В^>А - не закон логики.

Характеризуя логические отношения в классической логике, существенно отметить, что в данной теории нет несравнимых формул (соответственно высказываний). Это одно из отличий классической логики от релевантной. Отсутствие общей переменной, работающее как критерий несравнимости в релевантной логике, не может быть таковым в системах классической логики. Использование такого критерия в этих системах ведет к недоразумениям: например, табличный метод покажет, что формулы А—+А и В^>В - логически эквивалентны (т. е. утверждение об их эквивалентности (А—->А)=(В—+В) является законом логики), а отсутствие общей переменной будет говорить об их несравнимости. (Получится, что формулы логически эквивалентны и в то же время несравнимы. Это явный абсурд.)

При исследовании логических отношений проявляются интересные аспекты философско-методологической значимости по-136

нятия логической формы. Например, совместимы ли по ложности высказывания «Юлий Цезарь - полководец» и «Якуб Колас - писатель»? Совместимы ли по истинности высказывания «Якуб Колас - композитор» и «Юлий Цезарь - живописец»?

Предположение, что первых два высказывания совместимы по ложности, допускает использование философской идеи возможных миров с рассмотрением хотя бы одного такого мира, в котором Юлий Цезарь не является полководцем, а Якуб Колас - писателем. Признание, что вторая пара высказываний совместима по истинности, подразумевает рассмотрение такого возможного мира, в котором Якуб Колас - композитор, а Юлий Цезарь - живописец. Применение же понятия логической формы при выяснении логических отношений между высказываниями в этих парах оказывается эквивалентным использованию идеи возможных миров, но без ее непосредственного приложения: два высказывания заменяются формулами, выражающими их логическую форму, допустим - А и В, а затем речь идет о логических отношениях между этими формулами, что легко выявляется табличным методом.

  • [1] Лукасевич Я. Аристотелевская силлогистика с точки зрения современной формальной логики. - М. : Изд-во иностран. лит., 1959. - С. 42.
  • [2] Лукасевич Я. Аристотелевская силлогистика с точки зрения современной формальной логики. - С. 42. 2 Там же.
  • [3] См.: Бочаров, В. А., Маркин В. И. Введение в логику. - М. : ИД «Форум»: ИНФРА-М, 2008. - С. 101-105 ; Ивлев Ю. В. Логика. - М. : Наука, 1994. -С. 52-56.
  • [4] См.: Войшвилло Е. К., Дегтярев М. Г. Логика как часть теории познания и научной методологии : в 2 кн. - М. : Наука, 1994. - Кн. 2. - С. 124-131. 2 См.: Павлюкевич В. И. Логические отношения между высказываниями // Логика и В.Е.К. : сб. науч.тр. : к 90-летию со дня рожд. проф. Евгения Казимировича Войшвилло. - М. : Соврем, тетради, 2003. - С. 186-192 ; Его же. Симметричная минимизация базиса логических отношений в классической логике высказываний // Седьмые Смирновские чтения : материалы Междунар. науч, конф., Москва, 22-24 июня 2011. - М. : Соврем, тетради, 2011. - С. 102-104.
 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ ОРИГИНАЛ   След >