Проверка нормальности распределения (только при ν < 33%)

Рабочий лист «Пункт 3».

Использование показателей асимметрии и эксцесса

Вычисление показателей асимметрии и эксцесса.

Показатель асимметрии вычисляется по формуле т з

g. = -^77 = 0,1639. т 2

Для симметричных распределений т, = 0 ng. = 0. Левосторонняя асимметрия оказывается при > 0, правосторонняя при g₁ < 0.

Показатель эксцесса равен

/И 4

g, = — - 3 = -0,5807.

1П 2

Для нормального распределения g₂ - 0. Заостренное распределение частот дает значение g₂ > 0, пологое распределение ведет к g₂ < 0.

Судя по полученным оценкам, у нас наблюдается пологое распределение с левосторонней асимметрией.

Вычисление несмещенных оценок для показателей асимметрии и эксцесса

G =

y/n*(n - 1) п - 2

?gi = 0,1686;

п — 1 г 1

G₂ = 7---7777---77* ^{+ + 6} = -0,5196.

(и-2)*(и-3) ^{L J}

Вычисление среднеквадратичных отклонений для показателей асимметрии и эксцесса

^SG_l =

6*и*(и - 1)

= 0,3217;

• (и - 2)* (и + 1)* (w + 3)
• 24*и*(и -1)²

(п - 3)*(и - 2)*(п + 3)*(л + 5) 0,6335.

Если одновременно выполняются условия, что |GJ < 3 * Sq и |G,| < 5 * Sq₂ , то гипотеза нормальности исследуемого распределения может быть принята

В нашем случае 0,1686 < 3 * 0,3217 и 0,5196 <5 * 0,6335, т. е. распределение можно считать нормальным.

Использование χ2-критерия

Разбивают весь массив исходных данных на классы Разбиение на классы можно выполнить по правилу Штюргеса. Количество классов при этом вычисляется по формуле

к « 1 + 3,32 * lg(n) « 1 + 3,32 * lg(55) « 7.

Размах варьирования (после удаления выброса) равен

D = х - х . =22. max min

Зная эти величины, вычисляем величину шага для каждого класса: h = Г>/А: = 22 / 7 = 3,14.

Для удобства расчетов увеличиваем шаг до 4. В этом случае, чтобы перекрыть весь интервал данных, потребуется шесть классов.

D < h * к.

Первый класс - это интервал измерений от 166 до 170, второй -от 170 до 174 и т. д.

Имея эту информацию, можно определить количество измерений (частоту - Ь ), попадающих в каждый класс.

В случае ручного расчета исходные данные (рост студентов) сортируют по возрастанию. При этом данные, попадающие на левую и правую границы интервала (например, рост в 170 см.), будем учитывать только один раз (когда они попали на левую границу).

Количество измерений, попавших в каждый класс, можно определить и автоматически, используя функцию ЧАСТОТА. В этом случае предварительная сортировка данных не требуется. Но чтобы результаты совпали с ручным расчетом, в таблице необходимо изменить правую границу. Так как у нас результаты измеряются с точностью до одного сантиметра, то правая граница должна быть уменьшена в этом пределе (например, на один миллиметр). В этом случае рост в 170 см будет учитываться в следующем классе.

Найденные результаты помещают в следующую таблицу.

Функция ЧАСТОТА является функцией работы с массивами, поэтому перед ее вводом необходимо выделить нужное количество ячеек (ячейки Н42:Н47). После этого вводят функцию. Ее первым аргументом является интервал ячеек, содержащих результаты измерений. Второй аргумент - это адреса ячеек, содержащих правые границы классов (ячейки F42-.F47).

После завершения ввода функции одновременно нажимаются клавиши Ctrl + Shift + Enter.

В этой таблице относительная частота попадания в каждый класс определяется как отношение количества попаданий в этот класс к общему количеству измерений.

Наколенная частота в первом классе равна относительной частоте первого класса. Накопленная частота для второго класса равна сумме относительных частот первого и второго класса и т. д.

Имея эти данные, можно построить кумулятивную линию, полигон и гистограмму частот.

Кумулятивная линия (или график накопленных частот) строится в координатах «относительная накопленная частота попадания измерения в интервал - номер класса». Левая граница первого класса соответствует нулевой относительной накопленной частоте; левая граница второго класса - относительной частоте попадания измерений в первый класс; левая граница третьего класса - сумме частот попадания измерений в первый и второй классы и т. д. Кумулятивная линия служит оценкой функции распределения F(x) в точке х.

Гистограмма и полигон строятся в координатах «количество попаданий в данный интервал - интервал измерений, разделенный на классы». При построении гистограммы частота попаданий в каждом классе остается постоянной, а при построении полигона проводится плавная кривая через середину каждого класса. Гистограмма и полигон служат оценкой плотностей вероятности.

Вычисляют средневзвешенный рост студента (х )

и стандарт этой величины (s )

В приведенных ниже формулах b - количество попаданий в данный класс, х. - середина каждого класса, и - общее количество экспериментов, к - количество классов:

к

X bj* Xj

;=1

^к — 2

X bj*(x j-x)

7 = 1_______________

П - 1

Для поиска этих величин заполняют вспомогательную таблицу.

Результаты последующих вычислений реализуются следующим алгоритмом

• Вычисляют величину z по формуле:

Ху- X

^z J ⁼ ~

• 5
• • Используя найденные значения zy, формируют с помощью таблицы математической статистики (ординаты стандартной нормальной кривой) вектор-столбец f(z). Если таблицы отсутствуют, то можно использовать функцию НОРМ.СТ.РАСП с двумя параметрами. Первым параметром является найденная величина zj, второй параметр должен быть равен нулю.

• Вычислив величину т = п * h / $ = 55 *4 / 5,3050 = 41,4705, находят ожидаемую по стандартному нормальному распределению частоту попадания в каждый класс Е:

Е. = f(z)*m.

• Вычисляют теоретическое значение /²-критерия:

Результаты всех этих вычислений удобно свести в следующую таблицу.

Используя табличное значение ^-критерия, делают вывод о нормальности исследуемого распределения

Табличное значение х²^ = 6,250 берется из таблицы процентных точек ^-распределения и зависит отр - уровня значимости и/- числа степеней свободы. В данном случае f = к - 1 - 2 (двойка появилась за счет того, что оцениваются два параметра х и s ). Это же значение может быть найдено с помощью функции ХИ2.ОБР(0,9; 3). Первым параметром этой функции является доверительная вероятность, а вторым - число степеней свободы.

Так как х² < ^{т0 с} данной доверительной вероятностью гипотеза о нормальности исследуемого распределения принимается.