Масштаб изображения в проекции Гаусса-Крюгера. Искажение линий и площадей в проекции Гаусса-Крюгера

Масштабом изображения линии в проекции называют отношение длины бесконечно малого отрезка в проекции к длине соответствующего отрезка на эллипсоиде. Ранее было сказано, что рассматриваемая проекция является конформной, т. е. при переходе на плоскость сохраняется подобие бесконечно малых фигур. Из этого следует, что масштаб изображения в проекции Гаусса — Крюгера постоянен во всех направлениях. Если длина малого отрезка в проекции Гаусса — Крюгера равна 5Г, а на эллипсоиде S, то масштаб изображения определится равенством:

с

т = ^. (10.1)

S

Приближенно масштаб изображения в произвольной точки проекции Гаусса — Крюгера можно вычислить по формуле:

т = 1+-^т, (10.2)

2R2

где у — ордината точки в проекции Гаусса — Крюгера; R — средний радиус Земли. 287

Относительное искажение длин линий выразится формулой т~1 = ^- (10-3)

Из (10.2) следует, что на осевом меридиане, при у = 0, масштаб будет равен единице, а искажение равно нулю.

Так как в шестиградусной зоне на широте экватора ордината принимает наибольшее значение у = 330 км, то наибольшее относительное искажение будет соответствовать величине

3302 1

т -1 =------z- =---

2 64002 800 •

В пределах Российской Федерации ординаты могут достигать значения 255 км, тогда относительная погрешность может составить величину порядка

Такая относительная погрешность практически не имеет значения при мелкомасштабных съемках, включая масштаб 1:10 000. Но при съемках в более крупном масштабе такие искажения недопустимы. По этой причине при крупномасштабных съемках переходят от шестиградусных зон в трехградусные. Искажения при таком переходе на краю зоны будут меньше примерно в четыре раза.

Следует отметить, что при переходе от эллипсоида к плоскости происходит удлинение линии на величину

Д5 = 5(ш-1), (10.4)

называемую поправкой за редуцирования линии при переходе с эллипсоида на плоскость в проекции Гаусса — Крюгера.

Естественно предположить, что изменение длины линии при переходе с эллипсоида на плоскость в проекции Гаусса — Крюгера, влечет за собой и изменение площади. Легко показать, что относи

тельное искажение площади выражается соотношением:

(10.5)

Площадь участка, вычисленная по координатам в проекции Гаусса — Крюгера, будет фактически больше площади на эллипсоиде на величину у2 R

(10.6)

Приведенные формулы (10.2) — (10.6) являются приближенными, но вполне могут быть применены при расчетах, связанных с построением опорных межевых сетей и съемочных сетей.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ ОРИГИНАЛ   След >