Оценка относительной точности функций результатов измерений и расчет весов при различных геодезических действиях

Иногда в практике геодезических работ возникает необходимость рассчитать вес функции результатов измерений. Решение поставленной задачи может быть проведено на основании следующей теоремы.

Теорема 3.

Пусть /2,..., 1п результаты измерений получены с весами, соответственно равными рр р2,..., рп. Тогда линейная функция этих результатов измерений у = + С272+ ... + Сп1п, где все С( (z = 1, 2, ..., п) —

теоретические постоянные, имеет обратный вес, вычисляемый по

формуле

  • 1 Q2 с22 с2п
  • (8.22)

Угломерные работы. Рассмотрим процесс передачи дирекци-онного угла на n-ую линию хода. Пусть равноточно измерены правые углы рр Р2, ...г р;!в теодолитном ходе. Необходимо вычислить вес п-ой линии хода при условии, что дирекционный угол аАВ исходной линии АВ получен с погрешностями, пренебрегаемо малыми по сравнению с погрешностями измерения углов хода.

Условие равноточности измерения углов хода позволяет приписать всем измеренным значениям углов один и тот же вес, в частности, равный единице, т. е. р{ = р2 = •• • = Рп = Рр = 1.

Дирекционный угол последней линии теодолитного хода вычисляем по известной формуле

ап =аАк+180“ л-р1 “Pa"- --Рп.

Тогда на основании теоремы 3 записываем выражение обратного веса дирекционного угла последней линии хода. Необходимо учесть, что слагаемое (Хлв +180еп в предыдущей формуле есть безошибочная величина с нулевой дисперсией, и, следовательно, с нулевым обратным весом. На основании этого имеем:

  • 1 (-1)2 (-1)2
  • ----=--1---h... Ч

р«. 1 1

Тогда р„ =- прир,, = 1. (8.23)

Воспользовавшись соответствующим свойством весов, умножим в равенствах (8.23) все веса на одно и то же число к>0, и получим

Ра =- прирр = к. (8.24)

" п

В этом случае в качестве величины, обладающей единичным весом, будет выступать дирекционный угол, полученный по ходу в к поворотных точек, в чем легко убедиться, если в формуле (8.24) вместо п подставить к.

Таким образом, получаем, что выбор коэффициента к определяет выбор величины, вес которой равен единице.

Линейные измерения. Пусть на местности мерной лентой измерено п линий, и получены результаты Sv S2, ..., Sn. Необходимо вычислить веса результатов измерений этих линий при условии, что все измерения выполнялись с одним и тем же коэффициентом случайного влияния = ц.

Квадраты СКП измерений этих линий на основании формулы (8.18) будут соответственно равны ш12 = ц251, л^=ц252, ..., m2=p2Sn. Если принять в качестве коэффициента пропорциональности к = С-р2, то веса измеренных значений линий будут соответственно равны 251

С С с

. Р'=Г'Р'^.....

т. е. вес измеренного мерной лентой значения линии будет обратно пропорционален длине этой линии. При этом в качестве величины, обладающей единичным весом, выступает результат измерения линии длиной в С метров, в чем легко убедиться, подставив соответствующее значение длины линии в формулу веса линии.

Этот вывод может быть распространен на результаты измерения линий проволоками или рулетками. Однако эта методика расчета весов измеренных значений длин линий не может быть использована при радио и светодальномерных измерениях.

Примечание. Вычисление весов измеренных значений линий как величин, обратно пропорциональных их длине, возможно только при условии, что значения измерений всех линий получены по одной и той же методике, т. е. при одном и том же значении ps.

Решение типовых примеров.

Пример 8.5. Результатам измерения углов соответствуют среднеквадратические отклонения О',5; О',7; 1',0. Вычислить их веса, если известно, что среднеквадратическое отклонение единицы веса равно Г,5.

Решение.

сто

Известно, что р, = —г, где о0 — С КП единицы веса, а о, — С КП а,

г-ого результата измерения. Тогда

02 _2,25_. п02 _2,25 п __^о_2,25_ ст2 0,25 о2 0,49 и2 1,00

Пример 8.6. Вычислить веса превышений по ходам геометрического нивелирования соответственно длиной 10, 20, 30 км.

Решение.

Веса в геометрическом нивелировании рассчитываются по фор-

муле р, = —, где ?( — длина z-ого хода. Примем к = 15, тогда получим:

15 л г 15 15

Pi - — = 1,5 ; р = — = 0,75 ; р, = — = 0,5 .

10 1 2 20 30

При этом в качестве величины, обладающей единичным весом, 252 выступает превышение по ходу длиной в к = 15 км.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ ОРИГИНАЛ   След >