Оценка точности функций результатов измерений

Пусть непосредственно измерены некоторые величины, точность которых нам известна. Далее по измеренным величинам проводим вычисление новых величин. Возникает задача вычисления их характеристик точности.

Например, по измеренным стороне и двум углам треугольника необходимо вычислить две других стороны и оценить их точность, 239

если известны характеристики точности измерения линии и углов этого треугольника.

Решение поставленной задачи выполняется на основании следующих теорем, которые даются без доказательства:

Теорема 1.

Пусть lv 12,1п ряд результатов измерений, полученных в таких условиях, которые обеспечивают точность, характеризующуюся среднеквадратическим погрешностями mv т2, ..., тп. По этим данным получена их линейная функция вида у = Со + С}1} + С212 +... + Сп1п, где все С, (z = 0, п) — теоретические постоянные. Тогда среднеквадратическая погрешность этой функции может быть вычислена по формуле:

ту = 4- С2т^ +... + С*т*. (8.5)

Теорема 2.

Пусть Zv 12,..., 1п ряд результатов измерений, полученный в таких условиях, которые обеспечивают точность, характеризующуюся среднеквадратическими погрешностями mv т2,..., тп. По этим результатам измерений получена их дифференцируемая функция вида у=/(А, Х2,..., А,п). Тогда среднеквадратическая погрешность этой функции может быть вычислена по формуле:

Накапливание погрешностей в основный геодезических действиях

Теоремы 1 и 2 позволяют решить вопрос о выявлении законов накапливания погрешностей в основных геодезических операциях.

Передача дирекционного угла по ходу в n-поворотных точек. Пусть проложен теодолитный ход (рис. 8.2). Углы хода рр р2, ..., рп измерялись в одинаковых условиях, обеспечивающих получение их со среднеквадратическими погрешностями т1 = т2 =... = тп= т^. Необходимо рассчитать среднеквадратическую погрешность та дирекционного утла последней линии рассматриваемого хода. При этом будем считать, что значение исходного дирекционного угла алв линии АВ получено в условиях, обеспечивающих его определение с погрешностями, пренебрегаемо малыми по сравнению с погрешностями измерений, т. е. практически можно считать аАВ величиной безошибочной.

Для определения погрешности дирекционного угла линии CD 240 прежде всего необходимо представить этот дирекционный угол как функцию исходных и измеренных величин. Так как были измерены правые по ходу углы, искомый дирекционный угол может быть представлен в виде:

acD = aAB+ 180о,п-Р12-...-Рп.

Учитывая, что а — величина безошибочная, как и 180°-п, можно записать:

Схема теодолитного хода

Рис. 8.2. Схема теодолитного хода

Здесь все коэффициенты перед результатами измерений (С,.) равны -1, На основании теоремы 1 для квадрата среднеквадратической погрешности дирекционного угла последней линии хода можно записать

т2 = т2 + т2 +... + т2 или т22а-п.

aCD 1 2 п aCD i5

Тогда СКП дирекционного угла будет иметь вид:

maCD=m^ (8.7)

Окончательно можно сделать вывод, что при передаче дирекционных углов погрешности накапливаются пропорционально квадратному корню из числа углов.

Эта задача имеет большое практическое значение, т. к. на базе полученной среднеквадратической погрешности дирекционного угла последней линии хода можно получить формулу допустимой угловой невязки в теодолитном ходе, проложенном между двумя «твердыми» сторонами. Представим себе, что дирекционный угол последней линии является «твердым», т. е. полученным ранее из измерений более высокой точности. Практически его можно считать безошибочным по отношению к результату, полученному по результатам измерений в ходе. Поставим вопрос, а насколько может отличаться значение дирекционного угла, полученное из хода от «твердого», т. е. каких пределов может достичь разность Да = атвр- аизм? Для нахождения предельного значения величины Да необходимо найти ее СКП, а затем перейти к предельному значению. 241

В соответствии с теоремой 1 тАа = . Поскольку

«твердый» дирекционный угол признан безошибочным, то л?аТ>р = 0, следовательно, тАа = т . В этом случае предельная по

грешность разности, т. е. допустимое расхождение между теоретическим и измеренным значениями дирекционных углов может быть рассчитано по формуле Да"рсл = 2,5тру[п. Эта величина и есть допустимая невязка в сумме углов теодолитного хода, т. е.

4АОП=2,5шр^. (8.8)

Так, например, при измерении углов теодолитного хода электронным тахеометром, в паспорте которого указано, что СКП измерений угла Шр = 6", допустимая невязка вычисляется по формуле:

4АОП =2,5n?pVn = 15"Vn. (8.9)

Накапливание погрешностей в сумме углов полигона. В многоугольнике измерены все внутренние углы р,, 02,..., 0П. Точность их измерений характеризуется среднеквадратическими погрешностями т} = т2 = ... = тп = тр. Необходимо определить среднеквадратическую погрешность суммы =fl, +fl? +...+fl„ углов многоугольника. 1=1

Проведя рассуждения, аналогичные предыдущему, на основании теоремы 1 можно получить формулу, соответствующую формуле (8.7):

(8.10)

Сумма углов многоугольника имеет среднеквадратическую погрешность, в корень из п раз большую, чем в измеренных углах.

Накапливание погрешностей в среднем арифметическом из п равноточных измерений угла. Один и тот же угол измерен п раз и при этом получены результаты рр р2, ..., рп, характеризующиеся среднеквадратическими погрешностями = т2 = ... = тп = тр. Необходимо вычислить среднеквадратическую погрешность среднего арифметического p = —pj+—р2+... +—р„ этих результатов изме-п п п

рений. В данном примере все коэффициенты С, = — .

п

Для квадрата среднеквадратической погрешности получаем выражение

ш|=шр2/п, (8.11)

а для средней квадратической погрешности

т?=-А- (8-12)

Среднеквадратические погрешности среднего арифметического в корень из п раз меньше по сравнению со средней квадратической погрешностью единичного измерения.

Этот вывод можно полностью отнести не только к угломерным измерениям, но и к другим равноточным измерениям любого рода.

Передача высот по ходу в п станций. Пусть проложен нивелирный ход из п станций. Превышения на станциях нивелирного хода измерялись независимо друг от друга. Измерения проводились в одинаковых условиях, обеспечивающих получение их со среднеквадратическими погрешностями ш, =ш2 =... =шпст. Необходимо рассчитать среднеквадратическую погрешности тНв высоты конечной точки хода В. При этом будем считать, что значение высоты начальной точки хода НА получено в условиях, обеспечивающих ее определение с погрешностями, пренебрегаемо малыми по сравнению с погрешностями измерений, т. е. практически можно считать НА величиной безошибочной.

Для определения погрешностей высоты точки В прежде всего необходимо представить ее как функцию исходных и измеренных величин. Искомая высота точки В может быть представлена в виде:

НВ = HA+t+ti2+-+hn-

Учитывая, что НА величина безошибочная, и принимая во внимание, что все С, = 1, на основании теоремы 1 для квадрата среднеквадратической погрешности высоты последней точки хода можно записать:

2 2

тн, =тстп-

Тогда СКП будет иметь вид:

^Н,=Щ:тЛ. (8.13)

Окончательно можно сделать вывод, что при передаче высот точек случайные погрешности накапливаются пропорционально квадратному корню из их числа.

Если нивелирный ход заканчивается «твердой» точкой, т. е. точкой с известной отметкой высоты, то, проведя рассуждения, аналогичные рассуждениям, предшествующим формуле (8.10), можно записать для допустимой невязки выражение:

ЛАОП = 2,5m„VH. (8.14)

При нивелировании в равнинной местности расстояние между рейками остается примерно одинаковым, поэтому общее количество станций в нивелирном ходе может быть представлено в виде

L

п = —,

I,

где L — длина нивелирного хода; / — среднее расстояние между рейками в нивелирном ходе. 243

Тогда выражению (8.13) можно придать вид:

Jl

™Н, ~ тст Г~ •

у] 1ср

Введем обозначение:

Окончательно выражению (8.13) можно придать вид:

(8.15)

Величина цЛкм представляют собой среднеквадратическую погрешность превышения, полученного по ходу длиной в один километр. Для того чтобы в этом убедиться, достаточно в выражение для тНв подставить значение L = 1 км. Иногда эту величину называют коэффициент случайного влияния в геометрическом нивелировании или километрическая среднеквадратическая погрешность нивелирования.

Допустимая невязка в таком варианте будет вычисляться по формуле:

/Г =2.5ц,,..< 18.16)

Как видно из приведенных соотношений, закон накапливания случайных погрешностей не меняется при использовании различных характеристик нивелирных ходов, будь то длина хода либо количество станций в ходе: случайные погрешности накапливаются пропорционально корню квадратному из количественной характеристики хода.

Линейные измерения. В настоящее время существуют два типа линейных измерений:

  • — измерение с использованием мерного прибора, непосредственно укладываемого в створе измеряемой линии, выполняемые рулеткой, мерной лентой или проволокой;
  • — измерение косвенное, связанное с измерением времени прохождения сигнала от прибора до отражателя и обратно, выполняемые свето- или радиодальномерами.

Оба этих типа измерений отличаются друг от друга по характеру накопления погрешностей, и поэтому каждый из них должен быть рассмотрен отдельно.

Непосредственное измерение линий. Процесс измерения линии лентой (проволокой, рулеткой) по своей структуре очень близок к геометрическому нивелированию. И в первом, и во втором случаях окончательный результат получается как сумма отдельных элементов. Это могут быть превышения на станциях нивелирного 244 хода, либо длины отрезков между штативами при измерении длины линии проволокой, либо длины отрезков между шпильками при измерении линии лентой. Одинаковый характер процессов измерений определяет однотипный характер накапливания погрешностей измерений и для линии S, измеренной лентой /, и вычисленной из соотношения S = 1 • п; среднеквадратическая погрешность может быть рассчитана по формуле:

ms = mIyfn, (8.17)

где ш( — среднеквадратическая погрешность одного уложения ленты; и — число уложений ленты в створе измеряемой линии.

Как и в нивелирных работах, погрешности измерения линий можно представить с использованием длины линии. Для этого в формуле (8.17) вместо п необходимо подставить его выражение через S. Тогда будем иметь:

Vs

Введем обозначение:

Окончательно выражению (8.17) можно придать вид:

ms = fcVs. (8.18)

Величина ps представляет собой среднеквадратическую погрешность измерения линии длиной в один метр. Иногда эту величину называют коэффициент случайного влияния в линейных измерениях.

Измерение линий свето- и радиодальномерами. Физическая основа линейных измерений этого типа в значительной степени отличается от рассмотренных ранее. В предыдущем случае измерение выполнялось непосредственно методом «наращивания», когда окончательный результат являлся суммой отдельных элементарных частей, непосредственно измеряемых.

В светодальномерных и радиодальномерных измерениях фиксируется тем или иным методом время прохождения сигнала от прибора до отражателя и обратно. Поэтому точность окончательного результата в значительной степени зависит от точности измерения отрезка времени, что далеко не всегда связано с величиной этого отрезка, т. е. с длиной измеряемой линии. В связи с этим, как показывает практика светодальномерных и радиодальномерных измерений, для конкретного типа приборов в очень широком диапазоне изменения длин линий, эти измерения можно считать равноточными. Достаточно хорошие показатели точности можно получить по паспортным данным прибора. 245

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ ОРИГИНАЛ   След >