СТАТИСТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ (ИСПЫТАНИЙ)

Основная задача статистической обработки результатов испытаний состоит в выявлении и математическом описании такого закона распределения /(х), который бы отображал с высокой степенью достоверности объективную действительность. Наиболее простой путь решения задачи заключается в выборе закона распределения, который, по мнению исследователя, отображает реальную картину. Используются различные законы, наиболее часто встречающимися из которых является нормальный (Гаусса), логнормальный, экспоненциальный, Вейбулла, гамма-распределения.

Основанием для использования того или иного закона распределения и оценки его параметров служат опытные данные, полученные при испытаниях деталей, эксплуатационные наблюдения и теоретические предпосылки. Обработка опытных данных ведется с помощью математической статистики. [7]

Графическое представление результатов

Статистической функцией распределения случайной величины X называется частота события X в данном интервале [7]. Статистическая функция распределения случайной величины представляет собой прерывную ступенчатую функцию, скачки которой соответствуют наблюденным значениям случайной величины и по величине равны частотам этих значений. Если каждое отдельное значение случайной величины X было наблюдено только 1 раз, то скачок стати-. , , 1 стическои функции распределения в каждом наблюденном значении равен —, п где п — число наблюдений. При увеличении числа опытов частота события приближается к его вероятности (теорема Бернулли). При большом числе опытов простая статистическая совокупность перестает быть удобной формой записи, становится громоздкой. Для придания ей компактности результаты наблюдений должны подвергнуться статистической обработке - строится ста тистический ряд, который разбивается на интервалы, в каждом интервале находится частота и среднее значение. В результате обработки статистического ряда могут быть построены статистические графики: полигон (рис.6.1), гистограмма (рис.6.2) или статистическая функция распределения (рис.6.3).

Полигон строится следующим образом: на оси абсцисс откладываются интервалы значений величины, в серединах интервалов строятся ординаты, пропорциональные частотам, концы ординат соединяют.

Рис. 6.1. Полигон частот

Гистограмма (рис.6.2) строится следующим образом: под каждым отрезком оси абсцисс, изображающим интервал значений X, строится прямоугольник, площадь которого пропорциональна частоте в этом интервале. Полная площадь гистограммы равна единице. Гистограмма дает представление о дифференциальном законе распределения случайной величины (функции плотности распределения).

Рис. 6.2. Гистограмма распределения (дифференциальная функция).

Статистическая функция распределения (интегральная функция) строится следующим образом: над первым отрезком, изображающим начало и конец первого интервала, проводится горизонтальная линия на уровне ординаты, равной величине накопленной частоты первого интервала. Накопленная частота второго интервала откладывается от горизонтальной линии на уровне ординаты второго интервала и т.д. Статистическая функция распределения представляет собой частоту события X, < t или интегральную функцию.

Рис. 6.3. Статистическая функция распределения (интегральная функция).

Оценка характеристик надежности требует знания закона распределения. Однако, как следует из математической статистики, закон распределения устанавливается при испытаниях не менее 100, что при обычных испытаниях не может быть выполнено. Поэтому обычно закон распределения обосновывается физическими законами, а его численные значения определяются на основании имеющейся информации по результатам испытаний.

Оценку показателя исследуемой величины по результатам выборки называют точечной. Это оценка является случайной, поэтому для нее обычно определяют границы интервала, в котором она находится с доверительной вероятностью. Сам интервал при этом называют доверительным. Доверительные интервалы строят для двух параметров: среднего значения и среднеквадратического отклонения.

Кроме того, для практических целей могут быть использованы вероятностные бумаги различных распределений: экспоненциального, нормального, логарифмически нормального, которые позволяют судить о том, насколько хорошо эмпирическое распределение согласуется с функцией распределения того закона, для которого используется вероятностная бумага.

Виды вероятностных шкал (ось ординат) для экспоненциального, нормального и логарифмически нормального законов распределений представлены на рис. 6.4,6.5,6.6.

Для определения закона распределения необходимо:

• - подготовить опытные данные, расположив их в вариационный ряд (в порядке возрастания);
• - определить соответствующее каждой экспериментальной величине значение вероятности pj по выражению:

где ntj — порядковый номер образца

п — общее число образцов;

• - выполнить проверку результатов по критерию отбрасывания крайних значений;
• - построить гистограмму или статистическую функцию распределения исследуемой величины;
• - проверить допустимость предполагаемого закона распределения по критериям согласия;
• - оценить репрезентативность выборки.