Элементы теории вероятностей и математической статистики

Понятие случайного события и случайной величины. Основные формулы теории вероятности.

«Событие» в теории вероятности определяется как всякий факт, который может произойти или не произойти. Такое событие называется случайным. Каждое случайное событие обладает какой-то степенью возможности: одни события — большей, другие — меньшей.

Степень возможности события может быть количественно определена, это понятие и называется вероятностью события, то есть вероятностью события называется мера его достоверности.

Вероятность события [7] оценивается частотой повторения события. Вероятность события вычисляется как отношение числа благоприятных случаев к общему числу случаев, например, вероятность события А

Ф)=- (1)

п

т — число благоприятных случаев,

п — общее число случаев.

0<Р(д)<1

Величину Р(Л) называют также статистической вероятностью Р (л) события, если эта величина находится на основании произведенных п опытов, при которых событие А повторилось т раз.

Чем больше проведено опытов, тем больше статистическая частота Р (л) события приближается к вероятности Р(л) события.

Случайной называется величина, которая в результате опыта может принять то или иное значение, причем случайная величина может быть дискретная и непрерывная. Дискретная (прерывная) величина принимает значения только из определенного ряда конкретных чисел. Непрерывная случайная величина может принимать любые значения из некоторого конечного или бесконечного интервала. Детерминированная величина имеет заранее определенное значение.

К дискретным случайным величинам можно отнести, например, вес грузозахватного устройства определенного типа крана, значение предела прочности стали при испытаниях и т.д.

К непрерывным случайным величинам — например, значения действующих напряжений в элементах крана при работе.

События могут быть совместными и несовместными. Несовместными называются события (А) и (В), если их совместное появление невозможно.

События и величины могут быть зависимыми и независимыми [8]. Событие А будет независимым от события В, если вероятность события А не зависит от того, произошло ли событие В или нет.

Теорема сложения вероятностей:

Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий

Р<А + В) = Р(а)+ Р(В) (2)

Сумма вероятностей двух противоположных событий равна единице

Р(а)+Р(В)=1 (3)

Теорема умножения вероятностей:

Вероятность произведения двух зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисляемую при условии, что первое имело место

Р(АВ)=Р(а)

Вероятность произведения независимых событий равна произведению вероятности этих событий

^Па]=ПЛ4)

Следствием двух теорем (сложения и произведения вероятностей) является формула полной вероятности [7]

р(а)=?р(н,)р{% J

То есть, если имеется событие А, которое может произойти вместе с одним из событий Н, Нг . . . Нп, образующих полную группу несовместных событий, то вероятность события А вычисляется как сумма произведений: вероятность появления события А с каждым из событий Н умножается на вероятность появления события Н.

Например, необходимо найти полную вероятность безотказной работы механизма поворота крана «Альбатрос», имеющего два двигателя и, соответственно, два привода открытой передачи. При работе обоих двигателей механизм поворота отказывает с вероятностью qi2 (отказ может быть вызван дефектами в работе открытой передачи), при работе только одного двигателя — с вероятностью q{, при работе второго двигателя — с вероятностью q2, при отказе обоих двигателей — с вероятностью qo. Первый двигатель имеет надежность (вероятность безотказной работы) Pi, а второй — Р2. Все элементы могут выйти из строя независимо друг от друга. Найти полную надежность (вероятность безотказной работы) механизма поворота.

Рассмотрим события, обозначив Р - вероятность безотказной работы, а

(1-Р) — вероятность отказа. Обозначим события

Н2— работают оба двигателя,

Н — работает только первый двигатель (второй вышел из строя),

Н2 работает только второй двигатель (первый вышел из строя),

Hq — оба двигателя вышли из строя,

А — безотказная работа привода механизма поворота.

Тогда Р(НХ<2)=Р{Р2

Р(Н{)=Рх-(1-Р2)

(Т)

Р(Н2)=Р2(1-Р) >

Р(Н0)=(1-Р})(1-Р2)

Условные вероятности события А (безотказная работа привода механизма поворота при условии появления событий Hi,2; Hi; Н2; Но) равна:

(8)

По формуле полной вероятности получим

pW=pip2(i-)+p1(i-p2)-(i-?i)+p2(i-p1)(i-92)+

+ (1-Л)(1-Л)-(1-?о) (С

Рассмотрим данный пример в числовых значениях.

Примем; Р = 0,8; Р2 = 0,75

<71 = 0,2; <72=0,25

<71,2=0,95; <70 = 1

Тогда Р(Я1,2) = 0,8 0,75 = 0,60 Р(Я1) = 0,8 (1- 0,75) = 0,8 0,25 = 0,20

Р(Н2) = 0,75 (1-0,8) = 0,75 0,2 = 0,15

Р(Но) = (1-0,8) (1-0,75) = 0,2 0,25 = 0,05

Р(А/Я|.2)= 1-0,95 =0,05

Р(Д/Н1)= 1-0,2 = 0,8

Р(А/Н2')= 1-0,25 =0,75

P(A/Hq) = 1-1=0

Р(А)=0,8x0,75x0,05+0,8x0,25x0,8+0,75x0,2x0,75+0,2x0,25x0=

=0,03+0,16+0,1125+0^0,3

Таким образом, полная вероятность безотказной работы механизма поворота при данных числовых значениях составляет 0,3 (т.е. 30%)

Следствием теоремы умножения и формулы полной вероятности является формула Бейеса. Например, имеется группа несовместных событий Н, Н2 . . . Нп. Вероятность появления этих событий известны и равны Р(Н), Р(Н2). . . Р(Нп). Произведен опыт, в результате которого наблюдалось событие А. Обозначив условные вероятности появления события Hi при выполнении

события А через Рууц у

найдем , как изменится вероятность события Н в

связи с появлением события А. Запишем теорему Бейеса:

Р(Я,)-Р 4

(Ю)

Рассмотрим пример использования теоремы Бейса [8]. Электроприбор может собираться из высококачественных деталей и деталей обычного качества; известно, что около 40 % электроприборов собирается из высококачественных деталей. Если прибор собран из высококачественных деталей, то его надежность за время t равна 0,95, а если из деталей обычного качества — то его надежность равна 0,7. Электроприбор испытывался в течение времени t и работал безотказно. Найти вероятность того, что он собран из высококачественных деталей. Возможны два события (гипотезы).

Hi - электроприбор собран из высококачественных деталей,

Н2 - электроприбор собран из деталей обычного качества.

Вероятность этих гипотез до опыта Р(Н) = 0,4 ; Р(Н2) = 0,6.

В результате опыта произошло событие А — электроприбор работал безотказно в течение времени t. Условные вероятности этого события при гипотезах Н и Н2 равны

4%)=°,95

По теореме Бейса вероятность гипотезы Н, что данный прибор собран из высококачественных деталей

°’4 095 = 0,475

0,4 0,95 + 0,6 0,7

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ ОРИГИНАЛ   След >