ФОРМУЛЫ ЛОГИКИ ВЫСКАЗЫВАНИЙ

Теперь перейдем к понятию формулы логики высказываний. Формулы логики высказываний образуют перечислимое множество, которое зададим рекурсивным способом.

Алфавитом называется любое непустое множество. Элементы этого множества называются символами (буквами) этого алфавита.

Словом в данном алфавите называется произвольная конечная последовательность символов (возможно, пустая).

Слово а называется подсловом слова Ь, если b = Ь а Ь2 для некоторых слов bi и Ь2.

Всякое подмножество слов данного алфавита называется языком в этом алфавите.

Рассмотрим язык логики высказываний, т.е. подмножество слов в некотором выделенном алфавите. Слова в языке логики высказываний принято называть формулами логики высказываний. Эти формулы используются для моделирования высказываний.

Пусть известно:

  • 1. Алфавит логики высказываний содержит следующие символы: вы-сказывательные переменные А), Х2 логические связки &, v , —1, =>, символы скобок (,), которые в дальнейшем будут играть разные роли.
  • 2. Всякая высказывательная переменная есть формула, которая называется атомарной.
  • 3. Если а — формула, то (—1 а) — формула. Если а и b — формулы, то («&/?), V /?), (а => Ь), (а ~ Ь) — формулы.
  • 4. Других правил образования формул нет.

Замечание. Вместо высказывательных переменных Xt, ..., иногда удобно пользоваться прописными латинскими буквами без индексов.

Пример 1.

Слово (((“'А)&В) => (5 v А)) — формула.

Слово (—1 А&В) =>В А не является формулой (нет скобок).

Слово ((А “1 В) => (В v А)) — не формула, так как знак —1 — не бинарная связка.

Замечание. Удобно при записи формул по умолчанию опускать внешние скобки и скобки при отрицании высказывательных переменных, например формула из примера 1:

(-•A&5)=>(5vA).

Логические связки в логике высказываний задают алгебраические операции на множестве Ф всех высказываний.

Отрицание — унарная алгебраическая операция, остальные четыре логические связки — конъюнкция, дизъюнкция, импликация, эквивалентность — бинарные алгебраические операции.

В связи с этим логика высказываний — алгебра с пятью алгебраическими операциями (Ф, &, V, =>, ~, —1), которая называется алгеброй логики высказываний.

Обсудим синтаксис, семантику и прагматику языка логики высказываний.

Синтаксис языка логики высказываний изучает правильность написания формул (слов языка) согласно определению формулы логики высказываний. Нетрудно предложить алгоритм отыскания ошибок в слове, например указать на символ не из алфавита логики высказываний, на отсутствие необходимого или присутствие лишнего операнда логической операции, на отсутствие или несоответствие скобок в слове и т.д.

Семантика языка логики высказываний изучает смысл формул (слов языка) с точки зрения их оценивания на истинность. Вопросы семантики часто решаются с помощью таблиц истинности формул.

Прагматика языка логики высказываний изучает цели (задачи) использования тех или иных формул языка. Вопросы прагматики решаются в рамках функционирования (назначения) кибернетических и интеллектуальных систем, в которых используется логика высказываний.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ ОРИГИНАЛ   След >