На этой странице:

РЕКУРРЕНТНОЕ УРАВНИВАНИЕ ПОЛИГОНПМЕТРИЧЕСКИХ СЕТЕЙ

При рекуррентном уравнивании полигонометрических сетей необходимо учитывать уравнение поправок

v,. =-8a_s+8ос₍+7,. (12.75)

с обратным весом 1/ р, = п_р /р_р и группу из двух уравнений (12.56) с матрицей обратных весов Р~' (12.58).

При учете уравнения (12.75) также несложно выполнить последовательное формирование матрицы Q по необходимым ходам.

В этом случае матрица коэффициентов уравнений поправок (12.58) при определяемой узловой точке t в формуле (6.12) имеет вид а, = Е^2х2. Поэтому формула упрощается и приобретает вид: где матрицы Z/ = Q.j Д^т, N, = Р~' + Д-Z*. Матрица А коэффициентов при уже определенных неизвестных — координатах пункта s имеет ненулевую колонку, равную -Е^2х , и два ненулевых столбца, равных относящихся к дирекционным углам на пунктах s и t.

Нетрудно понять, что вычисление матрицы Z₍^T при учете уравнений поправок (12.56) необходимых или избыточных ходов можно выполнить по одной и той же формуле, если при учете необходимого хода матрицу Q_t__x записать в виде:

Тогда блок а₍ = Е коэффициентов при поправках координат также будет участвовать в вычислении матрицы ZJ = О,_1Д^Т, но не окажет влияния на результат из-за наличия нулей в матрице Q_j__l.

Таким образом, различие в учете необходимых и избыточных ходов будет лишь в том, что в последнем случае применяется формула (12.52) с вычислением обратной матрицы N,, а в первом случае она не обращается. Матрица Z вносится в два столбца, относящихся к пункту t, а матрица /V^2x2 становится диагональным блоком матрицы Q,.

При учете избыточных ходов удается выполнить контроль грубых ошибок.

В качестве примера рекуррентного уравнивания вновь обратимся к ходу (рис. 12.8).

Выполнив рекуррентное уравнивание сначала только угловых измерений, т. е. учитывая уравнения поправок (12.55) — необходимое для хода 1 и затем избыточное для хода 2, получим матрицу

f157000

Ее нулевые блоки относятся к координатам узловой точки. После этого учитываем уравнения (12.56) для хода 1 с матрицей коэффициентов

1,454x10^-3

и вычисляем матрицу Z^r = Q_UA^T

Матрица N будет так (12.76) приводит к матрице

такой: N = Р ¹ + AZ^T

1,038 0
0 3
(228,276 (П

. Применение формулы

fl 57000

-228,276 0^
1,038 0
3

Остается только учесть уравнения (12.56) избыточного хода 2 с матрицей ко

эффициентов А =

—1,454 хЮ’³

1 О')

I. В результате получим вектор

Z^T = О, А^г = матрицу

N = Р-' +AZ

'-456,554 О'

1,370 О

О 3,

2,740 О'

О 6

(ее элементы необходимы для контроля грубых ошибок) и обратную матрицу

, 70,365 0 А

N =

0 0,1667j

Наконец, по формуле Q₂ = Q - ZN 'Z^r находим искомую матрицу

'81340 -0,856

Q₂ = 0.354

0 '
0
1,5,
(такой же результат с точностью до погрешностей вычислений был получен ранее).

Выполним также вычисления в иной форме.

Для необходимого хода 1 применим формулу (6.12), которая с учетом того, что пункт 1 безошибочный, примет вид

Q =	a 'Na ^т.	(12.78)
Матрица
	' 1	0 О'
а =	1,454x10’³	^{1 0}
	_k 0	о J'

а диагональная матрица N = Р ¹ = |з 15 х 10³ 0,706 3}. Обращая матрицу а, получим результат:

' 1 а’¹ = 0,0015

О'

. 0

В результате перемножения матриц в (12,78) найдем матрицу:

'315 хЮ³

О, = -472,5

-472,5 О'
1,416 0
0 ³>

Далее, учитывая по рекуррентной формуле для избыточных измерений три уравнения поправок хода 2 с матрицами коэффициентов: 1. а = (1 0 0), 2. а = (-1,454х10’³ 1 о), а = (0 0 1), и опуская промежуточные вычисления

(приведем только величины N_t = 630000, N₂ = 2,787, N₃ =6, которые необходимы для контроля грубых ошибок свободных членов уравнений поправок), получим

окончательный результат f79831 -1,8

0,354

О ^л

(Р₂ — б? —

1,5,

Заметим, что если принять вес р₄ = 1, то получим, что Q_x = 0,475, что приводит к некоторому нарушению строгости решения задачи (хотя и незначительному). В книге [2] приведены формулы для оценки точности координат пунктов моделей полигонометрических сетей, состоящих из вытянутых с равными длинами сторон ходов и для оценки точности всех элементов отдельных ходов.

Координаты пункта t при учете необходимого хода вычисляются по координатам пункта s и суммам приращений координат, вычисленных по измеренным углам и суммам сторон. Ясно, что все свободные члены Ц, 1_Х и 1 такого хода равны нулю.

Если уравнивание выполняется с определением систематической ошибки, то учитываются уравнения поправок (12.65).

Недостатком способа узлов уравнивания полигонометрических сетей является то, что координаты внутренних пунктов ходов остаются без оценки точности. Конечно, любой из таких пунктов можно сделать узловым, но это приведет к увеличению требуемой памяти ЭВМ.

Рекуррентный способ уравнивания позволяет эффективно решить и эту задачу следующим образом (см. раздел 6.3).

После того как сеть уже уравнена, из матрицы Q выделим блоки, относящиеся к узловым пунктам s и t хода i е s, t, и составим из них матрицу

- (Q QA

Q= ^{ss sl} . (12.77)

Для нивелирных сетей ее порядок равен 2, а для полигонометрических сетей — 6. Далее по рекуррентной формуле удаляем измерения, относящиеся к

z-му ходу, т. е. учитываем уравнения поправок (12.75) с обратным весом--п„ и

Рр

уравнения поправок (12.56) с матрицей обратных весов -Р, ¹. В результате получим матрицу Q для двух узлов, которая имела бы место при уравнивании сети без этого хода. Теперь несложно получить матрицу для всех внутренних точек и узловых пунктов s и t, учитывая по рекуррентной формуле все измеренные длины сторон, направлений на узловых и углы на внутренних точках. Вычисления значительно упрощаются из-за того, что все измерения, кроме трех последних, будут необходимыми. В результате вычислений матрица Q для узловых точек совпадает с матрицей (12.77).

В работе [11] приведены на языке БЭЙСИК программа уравнивания полигонометрических сетей по способу узлов и по рекуррентному алгоритму и пример уравнивания.

В качестве примера рекуррентного уравнивания вновь обратимся к ходу (рис. 12.8) и выполним его в следующей форме.

Для необходимого хода 1 применим формулу (6.12), которая с учетом того, что пункт 1 безошибочный, примет вид:

2Ц Q_x=a'Na^T. (12.78)

Матрица

' 1

а= 1,454x10 ³

О О'

1 О

О L

а диагональная матрица N = = |315х10³ 0,706 з|. Обращая матрицу а, полу

чим результат:

^f 1

а"’ = 0,0015

, 0

О' о

В результате перемножения матриц в (12,78) найдем матрицу:

(315Х10³

Q, = -472,5

-472,5 О'
1,416 0
0 ³>

Далее, учитывая по рекуррентной формуле для избыточных измерений три уравнения поправок хода 2 с матрицами коэффициентов: а = (1 0 0); а = (-1,454х10"³ 1 0);а = (0 0 1), и опуская промежуточные вычисления (приведем только величины = 630000, N₂ = 2,787, N₃ = 6, которые необходимы для контроля грубых ошибок свободных членов уравнений поправок получим окончательный результат

79831 -1,8

Q₂=Q = 0,354

0 '
0
1,5,

практически такой же, какой мы получили в предыдущем разделе.

В заключение отметим, что рекуррентный способ узлов (см. раздел 6.3) позволяет также оценить точность всех неузловых точек полигонометрических сетей.

УРАВНИВАНИЕ СЕТЕЙ ГЕОМЕТРИЧЕСКОГО И ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКОГО НИВЕЛИРОВАНИЯ

Уравнивание сетей геометрического нивелирования как наиболее простая задача было подробно рассмотрено нами в разделе 4.4.

Тригонометрическим (геодезическим) нивелированием называется метод определения разностей нормальных высот пунктов путем измерения вертикальных углов v (зенитных расстояний) между ними При этом предполагается, что необходимые для вычисления превышений высоты приборов i и объектов визирования г| известны с пренебрегаемыми ошибками.

В основу уравнивания положим формулу для вычисления превышений между пунктами:

h = stgv + i- v + f. (12.79)

Здесь рассмотрим только приближенное решение задачи, полагая рефракцию f известной и безошибочной (строгое решение задачи рассмотрено, например, в [13]).

Уравнения поправок для измеренного превышения между пунктами s, b, t, как и в геометрическом нивелировании, составим в виде

^vt = + б, + /, .

Для установления весов превышений найдем их дисперсии.

По формуле оценки точности функций некоррелированных измерений установим, что

2,22 S² (3[

= *9А +--Т--Г- (12.80)

COS Dp

Пренебрегая первым слагаемым в (12.80), будем иметь:

В качестве дисперсии единицы веса примем величину:

Тогда вес

Р, =1/«,². (12.82)

Далее следует выполнить уравнивание сети геометрического нивелирование с весами превышений (12.82).

РЕКУРРЕНТНОЕ УРАВНИВАНИЕ ПОЛИГОНПМЕТРИЧЕСКИХ СЕТЕЙ

УРАВНИВАНИЕ СЕТЕЙ ГЕОМЕТРИЧЕСКОГО И ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКОГО НИВЕЛИРОВАНИЯ

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ВОЗМОЖНОСТИ РЕКУРРЕНТНОГО УРАВНИВАНИЯ

ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫЙ ПОИСК ГРУБЫХ ОШИБОК. СВЯЗЬ С РЕКУРРЕНТНЫМ УРАВНИВАНИЕМ

Вопросы уравнивания обширных сетей

УРАВНИВАНИЕ ЛИНЕЙНО-УГЛОВЫХ СЕТЕЙ

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКОЕ НИВЕЛИРОВАНИЕ

Сущность тахеометрической съёмки. Метод тригонометрического нивелирования.

Определение превышений при тригонометрическом нивелировании

Тригонометрическое нивелирование