ВЫБОР ИСХОДНОЙ МАТРИЦЫ ОБРАТНЫХ ВЕСОВ НЕИЗВЕСТНЫХ

Если уравнивание начинается с i = 1, то возникает задача выбора исходной матрицы = Q_o для всех еще неопределенных неизвестных, т. е. имеющих матрицу весов Р_о = 0 и, следовательно, матрицу Q_o = ооЕ, где Е — единичная матрица. Однако практически можно принять матрицу Q_o = 10^mE, где m — достаточно большое число, заменяющее при вычислениях оо, например, m = 8 при вычислениях с двойной точностью (подробнее см. [И]).

Например, определяя от безошибочного репера конечную точку висячего нивелирного хода с весом превышения р = 1 и приняв матрицу Q_o =10’ с матрицей уравнения поправок а = 1, находим матрицу Z⁷ = 10⁵, N= 1 + 10⁵ и по формуле (6.6) матрицу

1 10⁵

Q = 10^s---10'° =------ = 0,999990 » 1.

1 + 10³ 1 + 10⁵

Такой способ выбора исходной матрицы Q_o не вносит заметных искажений в результаты уравнивания, особенно если учесть, что веса измерений никогда не бывают точными. Можно доказать, что погрешности вычисления элементов матрицы Q не превосходят элементов матрицы AQ = 10’"' Q~.

В тех случаях, когда учитывать необходимые измерения по формуле (6.12) затруднительно, например, в сетях триангуляции или трилатерации из-за того, что для определения одного и того же пункта необходимы измерения с разных пунктов, целесообразно принять матрицу Q_o = 10^m Е и, как и для избыточных измерений, применять формулу (6.6), но вычисляя при этом только те ее столбцы, которые относятся к новым неизвестным.

В связи с этим такой способ выбора исходной матрицы назовем универсальным, а с применением формулы (6.12) — ее последовательным формированием.

При рекуррентном уравнивании для уменьшения объема вычислений при учете избыточных измерений целесообразна специальная нумерация пунктов, такая, чтобы на каждом пункте s - 1,2,...А последовательно нумеровались все пункты, связанные с ним измерениями, а на пункте s учитывались все эти измерения.

Для того чтобы различать необходимые измерения от избыточных, достаточно организовать вектор-счетчик числа обращений к пункту I. Так, например, если в нивелирной сети число таких обращений больше 1, то такой ход будет избыточным.

Если часть неизвестных уже была определены ранее из уравнивания другой сети и получена матрица Q_ucx, то при уравнивании новой сети с включением этих неизвестных в качестве исходных данных (рис. 6.1) неопределенные еще элементы матрицы Q_o следует заменить элементами матрицы (?_цсх.

Так, при уравнивании нивелирного хода с учетом ошибок исходных отметок первого и последнего пункта, имеющих матрицу обратных весов

• (А Ч
• в)’ КЗ

исходная для уравнивания матрица обратных весов будет такой:

(А

С'

в,

(6.13)

Все ее диагональные элементы, кроме первого и последнего, можно принять равными 1 О^т, а все остальные, кроме С, равными нулю.

Рис. 6.1

Таким образом, уравнивание с учетом ошибок исходных данных достаточно просто выполняется с применением рекуррентного алгоритма.

Если i-ая группа состоит только из одного некоррелированного с другими измерения с уравнением поправок у = аДх, + 1_р то формулы (6.7) и (6. 8) приобретают более простой и удобный для вычислений вид:

Z,^r =Q_₁a,⁷',N,. =l/p,. + a,Z,^r,N7¹ =1/N,.. (6.14)

Кроме того, матрицы А,- или а₍ содержат лишь небольшое число ненулевых элементов, а матрица Q симметричная, что уменьшает объем вычислений.

В случае уравнивания нивелирных сетей и предварительного уравнивания направлений с пункта s на t матрица А₍ = <у = (О 0 ...0-1 0...0) с элементом -1, расположенном в стобце s, а матрица a₍ = 1. Тогда матрица Q, приобретает совсем простой вид

• (Q-1X
• (6.15)

' l^szm 1 / р,+(SJ' где (Q-Js и (Q_j)_ss — соответственно s-ый столбец и диагональный элемент матрицы Q-p Полученный таким образом новый столбец имеет номер t - s + 1. Иными словами, следует s-ый столбец матрицы Q_z_j просто записать в столбец t, а к диагональному элементу с индексом txt прибавить обратный вес z-ro измерения.

Для иллюстрации сказанного приведем пример.

Пусть имеем нивелирный ход, проложенный между двумя безошибочными не нумеруемыми реперами (рис. 6.2), состоящий из п + 1 секций с весами превышений р,- 1.

Тогда будем иметь последовательность симметричных матриц для секций (не

обходимых измерений) 1,2...п

fl 1

• 1 Г
• 2 2 ,Q_n =
• (6.16)

Последняя (п + 1)-ая секция является избыточным измерением. Поэтому, применяя формулы (6.7) и (6.8) и учитывая, что матрица а_п+1 = (0 . . . -1), получаем матрицу Z_n+] = -(1 2 . . . п), величину N_n+l - п + 1 и далее согласно (6.6) с учетом (6.14) матрицу Q,_l+1 = Q, равную

'п п-1 п-2 . . .

2(п-1) 2(п-2) ...

• (6.17)
• (6.17а)
• (6.18)

п + 1

элементы которой можно вычислять по формулам:

_ i(n + l-j) _ j(n + l-Q ^iJ n + 1 ’

соответственно при i < j или j < i.

Например, при n = 4 будем иметь матрицу

• 3
• 6 4 2
• 4
• 2 3 4,

Суммы ее элементов по столбцам j = 1,2, ... п и всех элементов соответственно

_ J(n + 1-/) „ n(n + l)(n + 2) _

равны =----——, Е =----—----; а суммы в каждом столбце до строки i = j

₌ j(j + l)(n + l-j)

2((n +1)

Такой же вид будет иметь матрица обратных весов, уравненных в угломерном ходе дирекционных п сторон с исходными (безошибочными) дирекционными углами на концах.

Так как уравнения поправок для измеренных углов, как и нивелирном ходе, имеют вид v_t = -5a_s + 5а₍ + 7,, то выражение Q_n в (6.16) есть матрица не уравненных, а (6.17) — уравненных дирекционных углов п сторон.