Прогнозная экстраполяция как источник исходной информации для планирования

Экстраполяция - статистический метод, позволяющий выявить тренд - основную тенденцию развития социально-экономических явлений. При этом методе фактическое развитие явления заменяется математической моделью его движения во времени:

У, =/('),

где у' - выравненное (расчетное, теоретическое) значение объясняемой переменной;

t - порядковый номер периода времени (объясняющая переменная уравнения тренда).

Продление при определенных условиях этой тенденции на будущие периоды составляет основу прогноза, полученного по методу экстраполяции:

У^н = У,±и-

где у прогнозное значение зависимой переменной;

у' — выравненное (теоретическое, расчетное) значение зависимой переменной;

" - случайная или ненаблюдаемая переменная, остаток, равный разнице между фактическими значениями и значениями модели.

Возможность экстраполяции обеспечивается следующими обстоятельствами:

  • а) общие условия, определяющие тенденцию развития в прошлом, не претерпят существенных изменений в будущем;
  • б) тенденция развития - тренд - поддается формализации, т.е. ему можно поставить в соответствие некоторое аналитическое уравнение.

Итак, экстраполяция рассматривает любое явление как функцию времени. При этом параметры уравнения тренда, рассчитанные по методу наименьших квадратов, определяют ту траекторию движения зависимой переменной, которая сложилась как равнодействующая определенного набора факторов, то есть влияние отдельных факторов на динамику изучаемого явления моделью не выделяется. Это должен сделать аналитик, использующий данный метод. Он должен выделить основные факторы, повлиявшие на анализируемый процесс, обосновать предположение о том, сохранится ли их влияние в будущем, и определить на этой основе время действия трендовой модели.

В виду указанного недостатка экстраполяцию рассматривают не как завершающую (и тем более не как единственную) стадию прогнозирования, а как предварительный этап в разработке прогноза. В практике прогнозирования экстраполяция сочетается с другими методами прогнозирования такими, как экспертные оценки, корреляционнорегрессионный анализ.

Процедурно выявление тренда заключается в специальной обработке рядов динамики, позволяющей освободить статистические данные от случайных значений, не характерных с точки зрения сущности развития явления. Чтобы разработать прогноз методом экстраполяции, необходимо осуществить следующую последовательность операций:

  • 1. определение цели исследования, выбор показателя для прогноза его значения на выбранную дату (период) в будущем, подбор ретроспективных статистических данных;
  • 2. выбор вида уравнения для математического представления тренда (например, при помощи i-рафика, отражающего динамику изменения прогнозируемого показателя в прошлом);
  • 3. расчет параметров уравнения тренда методом наименьших квадратов;
  • 4. использование уравнения тренда для нахождения прогнозного значения показателя на фиксированную дату в будущем;
  • 5. оценка точности прогноза (например, по ширине границ доверительного интервала) и адекватности модели изучаемому явлению (выявление основных факторов, определивших тренд, характера и времени их действия в будущем).

Таким образом, на первой стадии экстраполяции (операции 1-2), осуществляется логический анализ исследуемого процесса. Может быть отобрано несколько уравнений, которые с точки зрения исследователя адекватны формализуемому процессу. На второй стадии (операции 3-5) с помощью статистических характеристик выбирается наиболее подходящая трендовая модель. Эта модель используется для составления прогноза.

Наиболее распространенные виды трендовых моделей:

  • 1. линейная у = b0 + b]*t
  • 2. многочлен второго порядка у = b0 + b,*t + Ь2
  • 3. многочлен третьего порядка y = b(l + b,*t + b2*t2 + b3*t3
  • 4. показательная у = b0 *Ь/
  • 5. экспоненциальная у = ЬоеЬИ|

Научно-исследовательским институтом видсотсрминалыюй техники (НИИВТТ), например, разработаны и используются программы экстраполяции, в которые заложены тридцать различных уравнений тренда: линейное, параболическое, гиперболическое, логарифмическое,

экспоненциальное, тригонометрическое и другие. После выбора вида уравнения тренда рассчитываются коэффициенты этого уравнения для исходного статистического материала. Для их определения может быть использован метод наименьших квадратов. Критерий этого метода формулируется следующим образом: теоретическая линия должна быть проведена таким образом, чтобы алгебраическая сумма отклонений фактических значений показателя yt от соответствующих точек теоретической линии у‘ равнялась нулю, и, следовательно, сумма квадратов этих отклонений была бы величиной минимальной.

Математическое выражение критерия метода наименьших квадратов:

Ё V 2

S = 1 [у, - •'] = min, где п - количество наблюдений; t - порядковый номер наблюдения.

Следовательно, применение этого метода сводится к решению задачи на экстремум. Как известно, функция достигает экстремума в том случае, когда первые частные производные этой функции равны нулю, то есть

dS

dba = ()

db, =0

dS

<7/>2 = 0 и так далее.

Последние уравнения получили название системы нормальных уравнений. Ниже приведена система нормальных уравнений для экстраполяции по прямой:

2

aS i

dbn = db

ds dth''-(b^b.t)]2

dbi = db,

Вычислив частные производные, получим:

— X(y,-b..-b.t)

db« = . 2 |

— X Ку-

= -2 1

После несложных преобразований:

Ь- h h

1 = b()n + о, i

X' X'2

1 = b„ i + b| -

Поиск параметров уравнения упрощается, если пронумеровать периоды времени таким образом (т.с. ввести соответствующие условные обозначения), чтобы

= 0.

Тогда параметры bo и Ь| линейной модели можно определить по упрощенным формулам (при соблюдении принципа отсчета от условного начала):

±У-

Ьо= " , то есть по формуле средней арифметической;

?(У<*0

b|= | , где

Ь„ и Ь1 - параметры уравнения тренда;

у, - фактические значения наблюдаемой переменной;

t - условные обозначения периодов времени в уравнении тренда;

п - количество наблюдений, на основании которых построено уравнение тренда.

Рассмотрим числовой пример аналитического выравнивания по прямой. Необходимо на основе линейной модели динамики цен определить прогнозное значение цены 1 кг творога по состоянию на 3.03.92 г. При помощи примера из отечественной истории мы можем показать, что формулы экстраполяции универсальны, и должны быть дополнены учетом факторов, отражающих специфику анализируемой ситуации.

Расчет параметров аналитического уравнения содержится в табл. 5.

Табл. 5

Динамика средней по РФ цены творога жирного в 1 квартале 1992 г. _____________(розничная торговля и городской рынок)_____________

Дата

Цена;

Условн. обозпач. периодов времени t

t2

y.t

Выровненный ряд

у,

у. -

[у, - у-]2

21.01.92

41.27

-3

9

-123,81

42,80

-1,53

2,34

28.01.92

43.48

-2

4

-86.96

41,65

+ 1,83

3,35

04.02.92

39.68

-1

1

-39.68

40,50

-0,82

0.67

11.02.92

41,95

+ 1

1

41,65

38,20

+3,75

14.06

18.02.92

32,96

+2

4

65.92

37.05

-4,09

16,7

25.02.92

36,77

+3

9

110,31

35.90

+0,87

0,76

ИТОГО:

236.11

0

28

-32,27

236.1

+0,01

37.88

По данным этой таблицы расчеты были произведены следующим образом:

Ьо= 236.11/6 = 39.35

Ь| = - 32,27/28 = - 1,15. Уравнение тренда имеет вид: = 39,35 - l,15t.

Теоретические значения наблюдаемой переменной:

yXt=-3) = y(->) = 39 35 _ 1,15(-3)= 39,35 + 3.45 = 42,8

-v(z=-2) = y(-2)= 39,35 _ l,15(-2) = 39,35 + 2,30 = 41,65 и т.д.

Прогнозное значение на заданную дату составит ynponi= = 39,35 -1,15*4 = 36,35- 4,60= 34,75 . Поскольку для примера взяты исторически отдаленные от настоящего времени данные, то фактическое значение прогнозируемого показателя известно. Цена на 3.03.92 г. составила 37,0 рублей за килограмм. В этом случае точность прогноза можно определить как абсолютное и относительное отклонение прогноза от факта. Абсолютное отклонение равно 34,75 - 37,0 = - 2,25, отклонение по отношению к среднему уровню динамического ряда: -2,25/39,35 100%= 5,7%, что указывает на среднюю точность прогноза. Для экономических показателей высокая точность предполагает выдерживание относительного отклонения в пределах 1%. Если отклонение более 10%, то прогноз считается неточным.

Далее необходимо выявить факторы, определяющие динамику цены рассматриваемого товара. Для этого необходимо вспомнить экономическую обстановку того времени. Творог жирный не попал в список товаров, цепы па которые регулировались государством (приложение №2 к Указу Президента РФ «О мерах по либерализации цен» от 3.12.91 г.). Следовательно, цена являлась свободной и регулировалась под воздействием спроса и предложения. В 1 квартале 1992 года как спрос, так и предложение уменьшились. Гормолзаводы снизили объемы производства, так как испытывали затруднения с реализацией продукции в виду того, что покупатели не могли в течение определенного времени адаптироваться к высоким ценам, установленным производителями в ходе либерализации. Спрос ограничивался низкой покупательной способностью населения. Молокозаводы вынуждены были уменьшить первоначальную цену. В марте она стабилизировалась на уровне 37 рублей. Как прогнозировалось во 2 квартале 1992 изменение воздействия указанных факторов? Предполагался некоторый рост покупательной способности населения в связи с предстоящими компенсационными выплатами пенсионерам, размораживанием специальных счетов по 40%-ным компенсациям вкладам граждан в отделениях Сбербанка, увеличением заработной платы в ряде отраслей в ответ на забастовки. Таким образом, сила воздействия повышающих факторов сравнялась бы с силой воздействия понижающих. В 3 квартале цена в большей степени должна была находиться под воздействием повышающих факторов, таких, как изменение общеэкономической ситуации из-за поэтапного роста цен на тсплоэнсргорссурсы. Такое изменение состава и силы воздействия факторов ограничивает сроки использования данной модели несколькими последними неделями 1 квартала. В дальнейшем необходимо построить новую модель на основе данных новых регистраций уровней цен. Более четко изложить результаты анализа влияния факторов позволяет приведенная ниже табл. 6.

Табл. 6

Анализ влияния факторов, определяющих динамику показателя ___________«розничная цена 1 кг творога жирного»___________

Факторы, действовавшие в ретроспективе

Факторы, действие которых ожидается в перспективе

Повышающие Т

Понижающие |

Повышающие J

Понижающие J,

Уменьшение объемов производства местными заводами

  • 1. Низкая покупательная способность населения.
  • 2. Затоваривание.
  • 1. Некоторое увеличение денежных доходов населения.
  • 2. Повышение цен на энергоносители.
  • 1. Зарождающаяся конкуренция со стороны производителей из других регионов.
  • 2. Сезонная конкуренция со стороны частного сектора.

Равнодействующая совокупности

факторов в целом: J,

Равнодействующая совокупности

факторов в целом:

  • • во 2 квартале t ~
  • • в 3 квартале J

Рассчитаем статистическую характеристику, с помощью которой устанавливается адекватность модели динамическому ряду. Наряду с другими характеристиками для этого используется среднее квадратическое отклонение от тренда Sy :

I S(y«-Y*)2

Sy= ’ nm (1)

Y, - прогнозное значение показателя;

у( - фактическое значение показателя на соответствующую дату;

п - количество наблюдений;

m - количество параметров в уравнении тренда (для уравнения прямой т= 2).

В нашем примере среднее квадратическое отклонение составило: <37,88

Sy = ’ 4 = =^’47 =3,08 (руб./кг) или по отношению к среднему уровню динамического ряда 3,08/39,35*100%= 7,8% (средняя точность расчетов). Чтобы расчеты давали более близкие в наблюдаемому динамическому ряду прогнозы, необходимо подобрать другие уравнения в качестве трендовой модели и рассчитать для них среднее квадратическое отклонение. Уравнение с минимальной величиной Sy будет соответствовать наиболее подходящей (в качестве закона изменения уровней динамического ряда) линии.

Ранее шла речь о точечном прогнозе. Прогноз может быть задан в виде диапазона.

Для оценки возможных пределов ошибки малой выборки (х - х ) пользуются отношением (критерием) Стьюдента ta. Критерий Стьюдента означает, что для числа степеней свободы (п - 1) с заданной вероятностью (1а) ошибка выборочной средней (х - х) по абсолютной величине нс будет превышать ta *р. Для экономических исследований задается вероятность 0,8-0,95.

На величину t-критсрия Стьюдента корректируется среднее квадратическое отклонение от тренда Sy при определении границ доверительного интервала прогноза, полученного на основе малой выборки:

Ynpom.- ± ta* Sy, где

YnporH -прогнозное значение зависимой переменной;

Y, теоретическое значение зависимой переменной;

ta - величина (-критерия Стьюдента, определяемая по табл.;

Sy - стандартная ошибка прогноза, определяемая как среднее квадратическое отклонение для малой выборки (см. формулу 1).

С доверительной вероятностью (1- а) можно предполагать, что фактическое значение прогнозируемого показателя попадет в доверительный интервал. Определим доверительный интервал прогноза для нашего примера. Если уровень значимости а=10%, то есть вероятность прогноза 90%, и число степеней свободы n-m = 6-2 = 4, то найденное по табл.7 значение критерия Стьюдента составит 2,132. Тогда

Y„porH.= 34,75 ± 2,132*3,08 = 34,75 ± 6,6 или с вероятностью 90% можно ожидать, что прогнозное значение цены творога попадет в интервал 34,75 ± 6,6 (руб./кг).

Табл. 7

Значения a-процентных пределов tu для распределения Стьюдента в зависимости от числа степенен свободы (k = n-m) и уровня значимости a

к

a

10

5,0

2,5

2,0

1,0

1

6.314

12,706

25,452

31,821

63,657

2

2,920

4,303

6.205

6,695

9,925

3

2,353

3,182

4,177

4,541

5,841

4

2,132

2,776

3,495

3,747

4.604

5

2,015

2,571

3,163

3,365

4,032

6

1,943

2,447

2,969

3,143

3,707

7

1,895

2,365

2,841

2,998

3,499

8

1,860

2,306

2,752

2,696

3,355

9

1,833

2,262

2,685

2,821

3,250

10

1,812

2,228

2,634

2,764

3,169

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ ОРИГИНАЛ   След >