Метод статистической идентификации

Реализация имитационных моделей технологических объектов с гибкой структурой требует динамической корректировки структуры и параметров моделей в процессе их функционирования в контуре управления. В условиях модульного подхода к синтезу имитационных моделей ТОУ задача структурной идентификации сводится к восстановлению компонент матрицы связей 5=11^1 q - количество элементарных модулей модели) между функ

циональными модулями моделирования, адекватно отражающих конкретные структурные особенности технологического объекта управления. Ниже рассматривается метод статистической идентификации ТОГС, основанный на функционально-статистическом анализе закономерностей поведения идентифицируемого ТОУ.

Постановка задачи статистической идентификации и алгоритм решения

Пусть дан технологический объект с гибкой структурой, текущее состояние которого описывается вектором U_t = (u_u,u_lt,...,u_nt)

где индекс t означает зависимость вектора U и его компонент от времени. Предположим, что интервал [О, Т], где Т - время функционирования объекта, разбит на т подынтервалов длиной Atj (не обязательно равной длины), j = .

Внутри интервала At, и некоторой его окрестности состояние объекта в пределах технологических ограничений будем считать квазистатичсским. Каждому интервалу дискредитации = у = 1,/я поставим в соответствие заданное значение компонент вектора = (u_lj9u_2j,...,u_nj)-(j = l,m). Тогда поведение объекта в пределах интервала [О, Т] может быть описано матрицей состояний IV, , строки которой определяют фиксированные состояния ТОУ в дискретные моменты времени. Выбор величин Т, At, , m осуществляется на основе методов планирования промышленных экспериментов, проводимых в активном либо пассивном режимах [35. 48]. Положим далее, что для проведения функционально-статистического анализа ТОУ требуется совокупность наблюдений состояния объекта объемом М, где М - априорно определяемый параметр. Требуемый объем наблюдений обеспечивает заданное количество матриц IV,.. образующих матрицу наблюдения IV размерностью ( М х п):

«11 «21 «ЗГ“«»1 «12 «22 «З2’”«п2

IV = и_|3 и_{23 13}

(4.27)

V«l» «2», где i = l,n - номер параметра состояния; j = .M - номер вектора состояния (поскольку в пределах сделанных допущений можно осуществить произвольную кодировку состояний объекта).

Каждую строку матрицы (/,(; = 1.Л7) (4.27) будем интерпретировать как вектор состояния некоторого объекта, принадлежащего множеству объектов мощностью М. Таким образом, исходная информация для решения задачи статистической идентификации представляется в виде выборки наблюдений мощностью М над п- мерной случайной величиной и задается матрицей наблюдений

IV=||(/J|. i = j = m.

Преобразуем матрицу IV в матрицу IV путем объединения тех ее строк, которые соответствуют выделенному классу (группе) состояний

Г,-] = Здесь j - множество состояний, определяемое матри-

ней IV, к - количество классов состояний. Обозначим через М_р количество элементов в классе р (мощность р -го класса). Тогда

^г,=^- ^м=?^м,.-

J-.M p-t.k мм„ р=|

Формирование матрицы IV производится с использованием методов решения задачи классификации объектов на априорно не заданное число классов. Подробно алгоритм решения данной задачи будет рассмотрен в разд. 2.2.2.

Как было отмечено выше, в результате структурно-функционального анализа причинно-следственных связей ТОУ определяется набор функциональных модулей моделирования, с помощью которого можно воспроизвести любое состояние объекта, принадлежащее множеству состояний ) г, или, что тоже I >1.М J

самое, любому его подмножеству Г_р(р = l.k). Предположим, что для каждого построенного класса состояний Г_р определена матрица связей между модулями моделирования. В пределах данного класса можно считать эти связей фиксированными (т.е. элементы матрицы S -S_it? = const; i,j е 1,

• 1. Модель формируется из набора элементарных модулей моделирования нижнего уровня, и отдельному модулю соответствует один технологический параметр состояния. В этом случае для каждого класса состояний необходимо построить матрицы корреляционных связей между технологическими параметрами состояния. Обозначим через R^p(nxn) ⁼ ||<>|| корреляционную матрицу р -го класса (р = 1,к). Матрицу Л''(пх«) следует интерпретировать как матрицу связей (инциденций), т.е. (г,,/'=0, то связь между i -м и j -м модулями в р -м классе отсутствует, и если (<,)'' *0, то связь существует. Данная ситуация имеет место, например, при моделировании локальных систем регулирования физиологических параметров [15, 22-24, 38J.
• 2. Модель формируется из модуля нулевого уровня (модель "черный ящик"). В этой ситуации для каждого класса Г_р(р = 1,к) состояний определяется конкретная структура оператора А модели, который воспроизводится, как правило, в виде системы дифференциальных уравнений. Тогда при переходе в новый класс состояний ТОУ ставится в соответствие заданная структура оператора А (с заданными значениями структурных параметров, определяющих, например количество членов в правой и левой частях дифференциального уравнения, число уравнений в системе и т.д.). Данная ситуация характерна для моделей химико-технологических объектов [9, 83, 102].
• 3. Модель формируется из набора модулей среднего уровня, и отдельному модулю соответствует группа технологических параметров, В этом случае для каждого класса состояний компоненты матрицы связей между модулями моделирования S однозначно определяются компонентами матрицы технологических связей между функциональными элементами ТОУ, соответствующих режиму его функционирования. Данная ситуация имеет место, например, при моделировании комплекса технологического оборудования ГПС [10J когда изменение технологической программы требует изменения структурных параметров ТОУ и, следовательно, структуры связей между модулями имитационной модели.

При воспроизведении в рамках имитационных моделей случайных возмущений необходимо корректировать структуру законов распределения слу-250

чайных величин. В соответствии с рассматриваемым ниже подходом к структурной идентификации ТОУ такую корректировку следует осуществлять только при переходе объекта в новый класс состояний. Вид законов распределения и их параметры для каждого класса определяются априорно методами статистического анализа

Корректировка параметров имитационных моделей на всех уровнях декомпозиции производится с использованием известных методов параметрической идентификации [20].

Рассмотрим алгоритмизацию процедуры переключения классов состояний ТОУ в процессе имитационного моделирования. Введем следующие обозначении:

u_ip - значение / -го параметра состояния р -го класса;

w,^nux - максимальное значение i -го параметра состояния в исходном множестве состояний ;

j=.M

u_ip - нормированное значение i -го параметра состояния р -го класса (5=«_Ф/«Г);

u_ip - среднее по множеству нормированных значений / -го параметра состояния

• 1 ^Мр _Л
• -го класса = / = 1,п; р = 1,к

М_рм

Для каждого класса состояний определим векторы средних по множеству нормированных значений параметров состояния

С/, = (и_м, м₂,,-.,м_л1);

=(«н «2*» —«пА

Предположим, что текущее состояние ТОУ задано, т. е. известен вектор U_t = (и_к,и_2/,...,и_/я). Произведем нормировку его комет и сформируем вектор

Принадлежность вектора состояния U,, данному классу устанавливается путем определения вероятностей перехода объекта в заданные классы состояний р = ,к. Максимальная величина из рассчитанных значений вероятностей соответствует номеру класса, которому принадлежит текущее состояние ТОУ. Вероятности перехода определяются по формуле

„ _ 1

_ I „ (4.28)

JE _ )2 • Е1 Е )2

V /-1 р-i V /-I

_____ к

где р = 1Д ; t Р (Р - номер класса, которому принадлежит

p=i ^р~^х'^к

текущее состояние объекта).

Процедура переключения классов состояний имеет графическую интерпретацию. Граф G (V.D) переходов ТОУ из одного класса состояний в другой приведен на рис.26, где г - параметр имитационного времени, Т - время моделирования. Множество вершин V графа G составляют следующие вершины: и₀ -начальное состояние ТОУ (при т= 0), ц - переключение классов состояний,

&1>_р(р = 1Д') текущие классы состояний (при т =t), - конечное состояние

ТОУ (при т=Т), т. е. V =(Р₀, Ц, Ц, и₂, u_t, и_г). Каждой дуге из множества дуг D графа G поставлена в соответствие вероятность перехода в данный класс состояний, задаваемая формулой (4.28) причем

p_Tp=(_P=U), i^=i.

,,=1

С учетом сделанных замечаний рассмотрим алгоритм статистической идентификации, который включает последовательное выполнение следующих шагов.

Шаг 1. Построить классы состояния Г₍,(р = 1,к), используя алгоритм автоматической классификации.

Шаг 2. Сформировать вектор U_H начального состояния ТОУ.

Шаг 3. Рассчитать вероятности Р„_р(р = 1Д) [по формуле (4.28)] и определить max Р„_р => р . Поставить в соответствие объекту заданную структуру имитационной модели, осуществить параметрическую идентификацию.

Шаг 4. Сформировать вектор U, текущего состояния ТОУ.

Шаг 5. Рассчитать вероятности Р_Тр(р = 1Д) [по формуле (4.28)] и опреде

лить max Р_1р=> р . Поставить в соответствие объекта заданную структуру

имитационной модели, осуществить при необходимости параметрическую идентификацию.

Шаг 6. Проверить т> Т. Если нет, то перейти на шаг 4, иначе за фиксиро

вать вектор U_T конечного состояния ТОУ. При плановом режиме реализации имитационной модели в контур управления текущие состояния объекта управления (шаг 4 алгоритма) воспроизводятся в результате проведения имитационного эксперимента. При реализации модели в оперативном режиме управления текущие состояния объекта определяются с использованием аппаратных или других средств контроля параметров ТОУ [101].