Основные типы систем, соответствующие процессу «гибели и размножения»

Ниже приведены основные типы систем, соответствующие процессу «гибели и размножения», и формулы для расчета основных характеристик.

1. Многоканальные системы без потерь с неограниченным ожиданием и бесконечным потоком требований на входе (разомкнутые системы):

ц. - интенсивность потока обслуживания;

X - интенсивность входного потока;

N - число каналов обслуживания;

2. Многоканальные системы с отказами и бесконечным потоком требований на входе (разомкнутые системы):

Граф динамики многоканальной системы такого вида остается таким же, только количество состояний в графе конечно и равно N+m+1, включая нулевое состояние, где т - величина, ограничивающая длину очереди (в другой терминологии - т - количество мест в накопителе очереди).

3. Многоканальные системы без потерь с числа требований (замкнутые системы):

источником конечного

где m - максимальное число заявок в СМО, число состояний СМО - т+1, включая нулевое состояние.

Расчет характеристик СМО на основе использования аналитического метода

/. Расчет многоканальных систем без потерь с неограниченным ожиданием и бесконечным потоком требовании на входе (разомкнутые системы)

Для нахождения предельных вероятностей состояний составляется система уравнений Колмогорова. Ниже приведены конечные формулы для расчета вероятностей состояний, выведенные из системы уравнений Колмогорова.

— ,1< у <27;

а ? г ------"Т7’ / > W-NI-N'~n

вероятность загрузки системы:

вероятность отказа в обслуживании:

ротк. = 0 >

т.к. любая заявка будет рано или поздно обслужена.

среднее число требований в очереди:

aN"P0

П(. =--г,

М7!(1-ах)

среднее время ожидания в очереди: а*Р«

Я

Лу = ---

Np

*пж NpNl(l-az)2

среднее число занятых каналов:

А

среднее число заявок в системе:

j = и0 +JV,, т.е. среднее число заявок в очереди плюс среднее число

занятых каналов;

среднее время пребывания требования в системе:

=***. + 1//Л т.е. среднее время ожидания в очереди плюс среднее время обслуживания.

2. Расчет многоканальных систем с отказами и бесконечным потоком требований на входе (разомкнутые системы)

Для нахождения предельных вероятностей состояний составляется система уравнений Колмогорова. Ниже приведены конечные формулы для расчета вероятностей состояний, выведенные из системы уравнений Колмогорова.

— ,1? j

Г-

а1

NNJ Л'

N < j< N + т.

вероятность загрузки системы:

р = 1-Р

Гзаг. 1 1 О

вероятность отказа в обслуживании:

Ротк = > в случае если заняты все каналы и все места в очереди

заявка получает отказ.

среднее число требований в очереди:

И() ~ PN+ + ^PN+2 + ‘" + ,TlPN+m

среднее время ожидания в очереди:

t = -^—р + -^-Р + + -^-Р

ож- Np N Np N+l Np 1V+W-'

среднее число занятых каналов:

+2Р2 + ...+7V(P„ + Р„+1 +...+ Р^„)

среднее число заявок в системе:

j = по + , т.е. среднее число заявок в очереди плюс среднее число

занятых каналов;

среднее время пребывания требования в системе:

= tOMC +1///, т.е. среднее время ожидания в очереди плюс среднее время обслуживания.

3. Расчет многоканальных систем без потерь с источником конечного числа требований (замкнутые системы)

Для нахождения предельных вероятностей состояний составляется система уравнений Колмогорова. Ниже приведены конечные формулы для расчета вероятностей состояний, выведенные из системы уравнений Колмогорова.

г .. т-1

L ? ww'-wJ p

вероятность загрузки системы: P = 1-P Гзаг. 1 1 О

вероятность отказа в обслуживании:

= 0 , т.к. любая заявка будет рано или поздно обслужена среднее число требований в очереди:

ш 1,1

п0=

/=W+1 /V./V

среднее время ожидания в очереди:

J 1 и"Л(ш-У) р среднее число заявок в системе:

J = п() + Л, т.е. среднее число заявок в очереди плюс среднее число занятых каналов;

среднее число занятых каналов:

N, =N-S?J(.N-j)Pi

/=0

среднее время пребывания требования в системе: J

A(m-J)

4. СМО с «взаимопомощью» между каналами

СМО с «взаимопомощью» - системы, в которых одна и та же заявка может обслуживаться несколькими каналами. Взаимопомощь может быть организована в любом типе СМО (замкнутая, разомкнутая).

При анализе таких СМО необходим учет 2-х факторов:

> Насколько убыстряется дисциплина обслуживания заявки при работе нескольких каналов. Самый простой вариант - пропорциональное увеличение: рк, где к - число каналов, занятых обслуживанием заявки.

> Дисциплина взаимопомощи. Самый простой вариант «все как один». Заявку обслуживают сразу все каналы.

Выгодно или нет вводить «взаимопомощь» зависит от реальной СМО и ее параметров.

Пример. Трехканальная СМО с потерями и бесконечным потоком заявок на входе.

Размеченный граф состояний для СМО без «взаимопомощи»

Размеченный граф состояний для системы с «взаимопомощью»

Далее, для нахождения предельных вероятностей состояний, необходимо составить систему уравнений Колмогорова.

5. СМО с ошибками в обслуживании

Заявка, принятая к обслуживанию, обслуживается не с полной достоверностью, а с некоторой вероятностью - р.

Например, справочное бюро не всегда выдает верные справки; корректор может неверно исправить ошибку, телефонная станция не всегда соединяет абонента с нужным номером и т.д. Ошибки в обслуживании характерны для СМО, в которых каналом обслуживания является человек.

Учет вероятности верного обслуживания заявки производится следующим образом: интенсивность обслуживания умножается на вероятность обслуживания заявки

Пример. Размеченный граф состояний для трехканальной СМО с ошибками в обслуживании.

Далее, для нахождения предельных вероятностей состояний, необходимо составить систему уравнений Колмогорова.

Еще одна разновидность СМО с ошибками в обслуживании -характер обслуживания зависит от длины очереди. При увеличении длины очереди канал начинает «спешить». Время обслуживания уменьшается, но увеличивается вероятность ошибки в обслуживании.

Интенсивность обслуживания в этом случае вычисляется по формуле: р(г) = р(г)р(г),

где: р(г) - интенсивность обслуживания при длине очереди г;

/?(г) - вероятность обслуживания заявки при длине очереди г.

Пример. Размеченный граф состояний для одноканальной СМО с ограниченной длиной очереди равной 2, с ошибками в обслуживании в зависимости от длины очереди.

/(0) д'(1) д‘(2)

Многоканальные системы массового обслуживания

Многоканальная СМО (с несколькими одинаковыми устройствами обслуживания) представлена ниже. В отличие от одноканальных СМО многоканальные системы рассчитать сложнее. Теория массового обслуживания позволяет получать аналитические зависимости для расчетов характеристик работы многоканальных СМО в стационарном режиме работы, однако, эти зависимости можно получить только для системы М/М/т.

Еслисистема имеет т одинаковых устройств, то

Ах

Р = т

Для многоканальных СМО р можно трактовать, как математическое ожидание части занятых устройств.

Приведем основные формулы для расчетов СМО вида М/М/т [7].

1. Вероятность того, что все устройства обслуживания свободны,

ут_._ (Лх? (Лл>

А=о к! (тп — 1)!(тп —Лх) ПриЛх < 1.

  • 2. Вероятность того, что занято обслуживанием к-е устройство или в системе находится к требований,
  • (Лх)к

Pk = ^-P0.l«k

3. Вероятность того, что все устройства заняты (к>т ). Обозначим эту вероятность через Л:

Лх ,

л —---------—, — <1

  • (т. 1)! (т — Лх) т
  • 4. Вероятность того, что все устройства заняты обслуживанием и .v требований находятся в очереди,

Pr

(Ax)m+s

s>0

т'.т!

5. Вероятность того, что время пребывания требований в очереди превышает некоторую величину /,

P(w > t) = ле х

6. Средняя длина очереди

7. Среднее количество свободных от обслуживания устройств

т-1

Zm — к .

-jj~Ux)kP0,

к=0

  • 8. Среднее количество занятых обслуживанием устройств т NCB
  • 9. Среднее время ожидания требованием начала обслуживания в системе

лх Ах w =---— < 1

т- Лх т

Приведенные формулы позволяют выполнять расчеты для СМО вида М/М/т и сравнивать их с полученными результатами имитационного моделирования.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ ОРИГИНАЛ   След >