СТАТИСТИЧЕСКИЙ ПОДХОД К ВЫБОРУ ОПТИМАЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

В предыдущих параграфах мы изучили задачу определения Парето оптимальных решений двухкритериальной задачи по выбору оптимального портфеля. В самой постановке задачи предполагалось. что мы знаем, если не все совместное распределение системы случайных величин доходности ценных бумаг (§), ?i, ..., ?„), то, по крайней мере, их математические ожидания и коэффициенты ковариации. В действительности, эти параметры могут быть определены лишь статистически, на основании измерений этих параметров в течение определенного промежутка времени. В данном разделе мы займемся статистическим оцениванием параметров совместного распределения системы случайных величин доходности бумаг, и формированием алгоритма выбора Парето оптимального решения с наименьшей выборочной дисперсией.

Напомним основное понятие математической статистики понятие статистики для оценивания числового параметра случайной величины.

Генеральной совокупностью в математической статистике называется (неизвестный) закон распределения случайной величины Е (одномерной или многомерной). Выборкой объема п называется результат измерений соответствующего числового параметра (значения случайной величины) в реальном статистическом эксперименте: (х, xi, ,..,х_п).

Предполагается, что результаты измерений в каждом из п проводимых экспериментов не зависят друг от друга. Поэтому мы можем считать, что каждый раз мы измеряем реализацию некоторой случайной величины Е ^с тем же законом распределения, что и у генеральной совокупности, при этом все случайные величины . Ei- ???, Еп являются взаимно независимыми. Мы желаем определить значения того или иного числового параметра генеральной совокупности. например, математического ожидания, или дисперсии (системы коэффициентов ковариации в случае многомерной случайной величины Е)- Статистикой для оценивания данного параметра Р называется новая случайная величина rj. зависящая от случайных величин Ei, Ei, Еп- обладающая свойства репрезентативности, состоятельности и несмещенности. Напомним, что состоятельность оценки означает сходимость по вероятности при п -* оо статистики к постоянной величине, равной заданному параметру Р. то есть оценка А) состоятельна, если

Таким образом, в случае состоятельности статистики ее реализация в виде числового значения, определенного данной выборкой, уклоняется от оцениваемого параметра на величину, не меньшую ?, с вероятностью, стремящейся к нулю с ростом объема выборки.

Несмещенность означает, что математическое ожидание статистики Г) в точности равно заданному числовому параметру, то есть

Если изучаемая генеральная совокупность и построенная статистика имеют конечную дисперсию, то, в силу неравенства Чебышева, из несмещенности статистической оценки следует ее состоятельность.

Напомним, какие имеются основные подходы в математической статистике для оценивания математических ожиданий и коэффициентов ковариации соответствующих случайных величин. Прежде всего, если характер совместного распределения оцениваемой многомерной случайной величины Е, известен, например, заранее известно, что мы имеем дело с совокупностью нормально распределенных независимых случайных величин, и вопрос заключается лишь в оценивании неизвестных параметров этого совместного распределения, то мы можем применить метод наибольшего правдоподобия Фишера. Этот метод сводится к определению тех значений числовых параметров, при которых вероятность реализации значений (лд, хг, ..., х„) из полученной выборки случайных величин ?i, .... ?_п наибольшая.

В общем случае приходится придумывать соответствующую формулу и проверять выполнение условий состоятельности и несмещенности для нее. Для математического ожидания соответствующая статистика выглядит также как арифметическое среднее значение и задается формулой

Эта статистика является несмещенной оценкой. Ее реализация при заданной выборке имеет вид

Для дисперсии и коэффициентов ковариации ситуация сложнее. Пусть сначала мы имеем дело с одномерной случайной величиной ? Статистика, построенная по аналогии с дисперсией дискретной случайной величины, равная

является состоятельной, но смещенной оценкой, поскольку

Чтобы получить несмещенную оценку дисперсии, используют исправленное выборочное среднее, которое задается формулой

Для многомерной выборки оценивание системы коэффициентов ковариации определяется формулами

Эта оценка является состоятельной и несмещенной.

Теперь мы можем вернуться к задаче оптимизации и построить статистическую оценку функционала

Из вышесказанного следует, что статистикой для функционала I является функция

Поскольку мы использовали несмещенные оценки слагаемых, входящих в формулу для L, построенная оценка также является состоятельной и несмещенной. Следовательно, математическое ожидание L равно теоретическому значению функционала

И П

I =У CjjXjXj —nijXj для рассматриваемой генеральной сово-

1,7 =1 /=Ю

купности:

Однако при разных Л случайная величина L имеет различные дисперсии. Нетрудно видеть, что случайная величина L имеет нулевую дисперсию в случае, когда Л = 0. Действительно, поскольку значение Л = 0 отвечает желанию получить минимальную дисперсию доходности при любом ненулевом значении средней доходности, то в случае Л = 0 мы вкладываем деньги в безрисковую ценную бумагу и получаем постоянный минимальный доход от этого вложения. Естественно, при Л ^0 дисперсия случайной величины L уже не равна нулю. Заметим, что дисперсия величины L как функция параметров (Л, .v) является однородным многочленом четвертой степени. На участках кривой эффективных вложений, на которых оптимальное значение х является аналитической функцией от Л значение дисперсии D[L = /)(л(Л), Л) есть (уже неоднородный) многочлен четвертой степени от Л (напомним, что мы показали ранее, что оптимальное распределение средств х(Л) является кусочно-линейной функцией параметра Л). Мы покажем, что при некоторых дополнительных предположениях у функции /)(л'(Л), Л) имеется корень кратности 2 в точке Л = 0 и еще две точки локального экстремума, в одной из которых функция D(x(X), Л) имеет локальный минимум, а в другой - локальный максимум. Точка локального минимума функции /)(л'(Л), Л) является в определенном смысле наиболее «устойчивой» точкой среди других точек кривой эффективных вложений, в том смысле, что малые изменения значений доходности системы рассматриваемых бумаг в наименьшей степени влияют на значение комбинированного функционала «риск-доход» именно в этой точке. Использование этой точки как возможного вложения средств в данный портфель является альтернативой имеющимся методам выбора точки эффективной кривой, описанным выше.