Пример построения эффективной кривой

Рассмотрим рынок ценных бумаг с четырьмя участниками Т, J, L, S', где Т,./, L являются рисковыми бумагами, а через S' обозначена соответствующая безрисковая бумага. Взаимоотношения участников рынка характеризуется следующими показателями (табл. 4.2.)

Таблица 4.2

Таблица исходных данных

Коэффициенты линейной корреляции определяютея таблицей:

Дисперсионно-ковариационная матрица имеет вид

Пусть Т, J, L, 5 обозначают случайные величины доходности соответствующих бумаг. При вложении Л'о, х, Х2, .хз в бумаги Г. /, L, S соответственно случайная величина доходности будет иметь вид

Дисперсия случайной величины ? имеет вид

Средне ожидаемая доходность равна В результате задача (4.2.6) приобретает вид:

Составим функцию Лагранжа:

Условия стационарности имеют вид

Условия неотрицательности имеют вид

Условия дополняющей нежесткости имеют вид

Построение эффективной кривой начнем с участка, примыкающего к значению параметра Л = 0. Поскольку при Л = 0 оптимальный портфель состоит в точности из единственный безрисковой бумаги, то при всех малых положительных значениях параметра Л > 0 значение компоненты хо оптимального портфеля строго положительно. В силу условия дополняющей нежесткости в этом случае значение соответствующего множителя Лагранжа А> тождественно равно нулю. Положим А> = 0, тогда получаем

Разрешая первые три уравнения относительно ад, А2, аз, получим

Поскольку коэффициенты при Л во всех трех соотношениях положительны, на начальном участке полагаем Лз = Л4 = Л5 = О, откуда следует, что

Теперь построим участок эффективной кривой при Л >4,253. Проанализируем состав оптимального портфеля и набор соответствующих сопряженных переменных в граничной точке Л = 4.253. Имеем

Поскольку состав оптимального портфеля непрерывно зависит от параметра Л. заключаем, что при значениях параметра Л. близких к граничной точке Л = 4,253, все три переменные ад, Х2, аз строго положительны. Следовательно, в силу условия дополняющей нежесткости. сопряженные переменные Лз, Л₄, Л₅, отвечающие ограничениям на знак переменных ад, ад, A3, тождественно равны нулю на некотором участке значений параметра Л, примыкающем к точке Л = 4,253. Чтобы определить параметры портфеля в этом случае, положим Лз = О, Л4 = О, Л5 = 0 в (4.3.20) и разрешим полученную систему уравнений относительно х, Х2, .хз, Л|, Лз.

В результате получим:

Этот портфель будет оптимальным вплоть до того момента, когда, по крайней мере одно из неравенств

будет нарушено. Разрешая уравнения

относительно Л. получим соответственно:

Последний корень Л = 0,603 не принадлежит полупрямой [4,253; оо). Это означает, что функция ,'з = -0,094 + 0,156Л не меняет знака всюду на полупрямой [4,253; оо). Нетрудно понять, что, так как коэффициент при Л в соотношении эсз = -0,094 + 0,156Л положителен, то функция лгз = -0,094 + 0,156Л положительна всюду в [4,253; оо). Точно также не меняет знак на полупрямой [4,253; оо) функция Лз = 0,129 — 0.030Л. Понятно, что она положительна при Л G (4,253; оо). Отсюда заключаем, что формулы (4.3.24) определяют оптимальный портфель на участке [4,253; 5,933].

Перейдем к построению оптимального портфеля на третьем участке, при Л >5,933. При Л = 5,933 меняет знак с «+» на «-» функция ,V| = 0,737 - 0,124Л, определяющая значение переменной *1 в оптимальном портфеле на участке Л G [4,253; 5,933]. Отсюда мы заключаем, что при значениях параметра Л >5,933, близких к Л = 5,933, переменная х тождественно равна нулю в оптимальном портфеле. Поскольку сопряженная переменная

Л₂ = -0,129 + 0.030Л отвечающая знаку хо в оптимальном на участке Л G [4,253; 5,933], строго положительна при Л G (4,253; 5,933), то хо также тождественно равно нулю на этом участке (в силу соображений непрерывности, значение Л₂ не может в момент Л = 5,933 «скачком» перескочить к нулевому значению, которому она должна была бы быть равна, если бы хо ^0 при Л >5.933). Остается в уравнениях (4.3.20) положить хо = х = 0, Л4 = Л5 = 0, и разрешить полученную, систему уравнений относительно Х2, а'з. Л), Л₂, Л3. Получим:

Для того, чтобы определить, на каком участке полученные формулы (4.3.25) определяют оптимальный портфель, решим неравенства

относительно Л. Корни уравнений соответственно равны

Отсюда видно, что формулы (4.3.25) определяют оптимальный портфель при Л G (5,933; 8,025).

Остается рассмотреть последний, четвертый участок эффективной кривой, при Л > 8,025. Найдем значения переменных оптимального портфеля и соответствующие множители Лагранжа в граничной точке Л = 8,025. Получаем

Отсюда видно, что при Л > 8,025 все переменные А'о, хь л'г должны быть равны 0. Подставим Л'о = 0, лд = 0, Х2 = 0, Л5 = 0 в уравнение (4.3.20) и разрешим полученные соотношения относительно Х3, Л₂, Л₃, Л4 Получим:

Поскольку

при всех Л > 8,025, мы заключаем, что полученный портфель оптимален при всех Л > 8,025. Таким образом, мы получили четыре различных участка кривой эффективных вложений. В заключение, приведем аналитическое уравнение этой кривой в координатах (M.D).

Проиллюстрируем полученные результаты графически, построив на плоскости с координатами (M.D) эффективную кривую. Формулы (4.3.23) (4.3.26) можно рассматривать как параметрические уравнения парабол на соответствующих участках аналитичности кривой эффективных вложений. Для получения явных формул на каждом участке гладкости найдем значение М средне ожидаемого дохода как функцию от параметра Л, а затем выразим из полученной формулы значение Л через М. После этого явное выражение для дисперсии D соответствующего оптимального вложения получается заменой параметра Л на его представление через М в соответствующих формулах.

Рассмотрим сначала первый участок, Л Е [0; 4,253]. Имеем:

Отсюда следует, что и

Когда параметр Л пробегает все значения от 0 до 4,253, функция М - 0,085 + 0,0195Л пробегает значения от 0.085 до 0,168. Таким образом, мы построили участок кривой эффективных вложений D - D(M) на отрезке М G [0.085; 0,168].

Рассмотрим второй участок эффективной кривой, когда параметр Л пробегает значения от 4.253 до 5,933. На этом участке справедливы формулы (4.3.24). Имеем:

Аналогично,

Выражая Л через М, получим:

Подставляя соотношение Л = -5,705 + 58,997М в выражение для дисперсии D. получим:

При Л G [4,253; 5,933] значения М = 0,0967 + 0,016950 Л пробегают отрезок [0,168; 0,197]. Следовательно, при М G [0,168; 0,197] уравнение кривой эффективных вложений имеет вид (4.3.28).

Рассмотрим третий участок эффективной кривой, когда параметр Л пробегает значения от 5,933 до 8,025. На этом участке справедливы формулы (4.3.25). Имеем:

Для дисперсии получаем:

Выражая Л через М, получим:

Подставляя соотношение Л = -26,333 + 166.667М в выражение для дисперсии D, получим:

При Л G [5.933; 8.025] значения М = 0,158 + 0.006Л пробегают отрезок [0,197; 0,206]. Следовательно, при М G [0,197; 0.206] уравнение кривой эффективных вложений имеет вид (4.3.29).

Наконец, на последнем участке, при Л G [8,025; <»], имеем М - 0,21, откуда следует, что D = 0,4.

На рис. 4.5 построена кривая эффективных вложений, описываемая зависимостями (4.3.27) - (4.3.29). Ее сравнение с кривой

Рис. 4.5. Кривая эффективных вложений рис. 2.21, построенной с применением ЦМРК в п. 2.7.4 для портфеля инвестиций, состоящего из тех же ценных бумаг, показывает на существенное различие как допустимых так и эффективных множеств портфелей. Это объясняется тем, что по ЦМРК эффективное множество строится только для рискованных бумаг, а эффективное множество, определяемое в двухкритериальной задаче, включает все активы: как рисковые, так и безрисковые. В количественном выражении доход, определяемый с помощью двухкритериальной оптимизационной задачи несколько выше дохода, определяемого по ЦМРК.

Анализ количественных результатов, полученных в этой и третьей главах, показывает на отсутствие каких-то типовых (не объяснимых) отклонений сравниваемых данных, а различие качественных результатов объясняется более точной постановкой и решением двухкритериальной задачи оптимизации портфеля инвестиций.