Алгоритм построения кривой эффективных вложений

Первый шаг. Построение участка кривой, примыкающего к точке А = 0.

Вычисляем матрицу С~¹ и вектор С¹(М - г₀Е) проверяем, есть ли у последнего отрицательные координаты. Если все координаты вектора С^Х(М- гоЕ) положительны, то для оптимального портфеля справедливы формулы (4.3.10):

где

Если имеются отрицательные координаты вектора С М - 1_}Е), то сначала решаем следующую вспомогательную задачу. Без ограничения общности можно считать, что первые к координат вектора С~'(М - гоЕ) отрицательны, а остальные положительны. Положим х = Х2 = ... = Хк - 0 и рассмотрим систему уравнений

Находим решение этой задачи по формулам

где(с'-^/) - матрица, обратная к матрице (с^)"^^. По предположению, имеем Xj > 0 и для всех i = к + 1,..., п.

Вычисляем значения множителей Лагранжа, отвечающих нулевым координатам х, ..., дд по формулам

Решаем неравенства

Если все неравенства выполнены на некотором интервале (0. Д°), то мы построили при Л ? (0, Л°) кривую эффективных вложений с параметрическим представлением.

Если некоторые из неравенств (4.3.15) не выполнены при сколь угодно малых значениях параметра Л>0 (то есть соответствующие множители Л,+з строго меньше нуля), то соответствующие координаты л',+з считаем строго положительными, полагаем Л,+з = 0 и вновь решаем вспомогательную задачу (4.3.12):

где индекс / пробегает значения, отвечающие ненулевым координатам X/, и суммирование ведется по тому же множеству индексов /.

Второй шаг. Пошаговое построение кривой эффективных вложений.

Предположим, что кривая построена при всех значениях параметра Л из некоторого интервала (0,Л^). На некотором участке (Л^/>,Л^/) интервала (0,Л^), примыкающего к граничной точке Л*, часть индексов i были активными (то есть, соответствующие значения Xj были положительными), а часть - пассивными (координаты X/ с этими индексами были равны нулю, а соответствующие множители Лагранжа Л,+з строго положительны). Обозначим через С' редуцированную матрицу С, из которой исключены строки и столбцы, отвечающие пассивным индексам /. Также штрихом будем обозначать редуцированные векторы Е и М. Тогда для решения задачи (4.3.10) на участке (Л^.Л^) справедливы формулы, вытекающие из (4.3.11):

Кроме того, для пассивных индексов i можно найти значения Л,+з по формулам:

При граничном значении параметра Л = Л^/ происходит изменение знака либо координаты х,- активного индекса / (при продолжении за точку Л = Л¹ координата х становится отрицательной), либо знака множителя Лагранжа Л,+з пассивного индекса (соответствующее значение Л,+з при продолжении за точку Л = А¹ становится отрицательным). В этом случае следует пересчитать множество активных и пассивных индексов, найти новые редуцированные матрицу С и векторы М' и ?', определить вновь координаты х,- и множители Л,+з. Правило пересчета состоит в следующем: изменившую знак активную координату следует отнести к пассивным, и, наоборот, пассивную координату, для которой изменился знак множителя Лагранжа, следует сделать активной. В результате мы продолжим процесс построения кривой эффективных вложений на некоторый интервал, примыкающий к интервалу (О.Л^). Нетрудно видеть, что этот процесс конечен (число шагов описанной итерационной процедуры не превосходит 2^,,+1).

Перед тем, как проиллюстрировать на конкретном примере применение описанного алгоритма построения эффективной кривой, сделаем важное замечание о характере зависимости дисперсии D и среднего значения доходности М Парето оптимальных портфелей. Из явных формул, определяющих распределение имеющихся средств х₀, Х, х^, ..., x_N в ценные бумаги, следует, что оптимальные значения координат хо, х_ь Х2, ..., x_N Парето оптимальных решений являются линейными функциями параметра Л:

Соответствующие коэффициенты я„ Ь, зависят от количества активных индексов на соответствующем участке эффективной кривой и меняются от одного участка к другому. На каждом участке аналитичности эффективной кривой математическое ожидание М и дисперсия D случайной величины доходности являются соответственно линейной и квадратичной функцией координат хо, хь Х2,..., хд^г и потому выражаются через вспомогательный параметр Л в виде

Коэффициенты этих соотношений также зависят от номера / того участка, на котором множество активных и пассивных индексов портфеля не меняется. На каждом участке аналитичности эффективной кривой соотношения (4.3.17) можно рассматривать как параметрические уравнения кривой D = D(M). Выражая вспомогательный параметр Л через М и подставляя полученное выражение в соотношение для дисперсии D, мы получаем, что дисперсия D является квадратичной функцией величины М:

Отсюда следует, что кривая эффективных вложений на плоскости (M.D) состоит из конечного числа непрерывно состыкованных парабол вида (4.3.18). Отметим, что эти соотношения в имеющихся литературных источниках получены лишь для портфелей, состоящих из двух или из трех ценных бумаг. Приведенный выше алгоритм позволяет последовательно получать явные формулы для эффективной кривой при произвольном числе имеющихся ценных бумаг на рынке.