ПОСТАНОВКА ДВУХКРИТЕРИАЛЬНОЙ ЗАДАЧИ ОПТИМИЗАЦИИ ПОРТФЕЛЯ ИНВЕСТИЦИЙ

Формирование портфеля ценных бумаг

Вернемся к описанию рынка ценных бумаг в целом. Напомним. что у нас имеется N ценных бумаг, доходность по каждой из

которых является случайной величиной / = 1 N. Кроме того.

имеется безрисковая бумага (ос фиксированным показателем доходности го. У нас имеется единица денежных средств, которую мы хотим распределить между имеющимися ценными бумагами. При любом таком распределении доходность от вложения является некоторой случайной величиной ?. Изучим ее характеристики.

Пусть мы вкладываем в /-ю ценную бумагу х, долю всех денежных средств, ад + .Vi + Х2+ ... + х, = 1. Тогда доходность вложения равна

Математическое ожидание (средняя величина) доходности равна

Разброс значений Е, по отношению к ее средневзвешенному значению М[?] определяется дисперсией Z)[?], равной

Здесь Cjj является ковариацией случайных величин

Отметим, что квадратичная форма d(x) = ^ ^cu^xi^x.i является

I неотрицательно определенной, поскольку дисперсия D[?] неотрицательна при любом выборе значений х, хг, ..., х, На самом деле,

N

можно считать d(x) = ^ ^cij^xi^xj строго положительно определен-

1,7=1

ной квадратичной формой, поскольку наличие направления

N

• (Х|, *2, x_N), на котором У ^cij^xi^xj - 0, означает, что случайная
• 1 J=i

величина (xi?i + х^2 + ... ^{+ x}n?n) имеет нулевую дисперсию, то есть, является детерминированной. Иными словами, между случайными величинами • ••, ?х существует некоторое линейное соотношение, и одна из них выражается как линейная комбинация остальных случайных величин. В этом случае можно редуцировать размерность задачи, перейдя к линейно независимым случайным величинам, уменьшив тем самым число действующих ценных бумаг на рынке. Отметим, однако, что наличие такой линейной зависимости между реальными ценными бумагами на рынке статистически крайне маловероятно. В дальнейшем мы

будем предполагать, что квадратичная форма d(x) = У ^ctj^xi^xj

i.j=I

строго положительно определена.

Таким образом, мы желаем увеличить среднеожидаемую доходность вложения при возможно меньшем риске. Обозначим М[§] = т/, i = 1, ..., N. Мы имеем следующую двухкритериальную задачу оптимизации

Введем в рассмотрение так называемые Парето оптимальные решения такой задачи, называемые в финансовой математике эффективными вложениями. Любой набор х = (хо, х_ьХ2, ..., x_;V), удовлетворяющий условиям хо + х + хг + ... + хдг = 1, х, >0, будем называть допустимым. Тогда допустимый набор х является Парето оптимальным, если не существует другого допустимого набора х для которого

Иными словами. Парето оптимальные решения нельзя улучшить сразу по двум показателям. Геометрически эти решения можно интерпретировать следующим образом. В (N + 3)-мерном пространстве с координатами (л'о, х, jc₂, ..., хщ, т, d) рассмотрим подмножество Q. определяемое соотношениями

Спроектируем это множество на плоскость (т, d), то есть для каждой точки (х, т, d) Е О отбросим первые координаты х и отметим соответствующую точку на плоскости с координатами (т, d). В результате получим некоторое подмножество П двумерной плоскости (т, d) с границей Г. Парето оптимальным решениям нашей задачи отвечают те точки (то, do) границы Г. для которых угловой сектор, определяемый соотношениями

является опорным по отношению к множеству П (пересекается с П только в самой точке (то,do)) (рис. 4.1).

Рис. 4.1. Граница Г эффективного множества портфелей

Опорные множества удобно описывать в терминах линейных функционалов.

Покажем, что кривая Г является выпуклой. Пусть для точки (т',d') G Г существует такой допустимый вектор х¹, что

N

/??' = г₀хЬ +Y xjm^d¹ = У C/jxjxj. Аналогично, пусть (m²,d²) G Г,

73 лг .V

и существует х , такой, что т = r₀x₀ + > х, m_it d = у c^xfXj.

73 ТГк

Нам надо убедиться, что отрезок (am' + (1 - а )пг. ad' + (1 - a)d²), a G (0,1), принадлежит надграфику функции d = d(m), задающей кривую Г, то есть, найдется такой допустимый вектор х, что

N

am' + (1 - а)т² = гохо + ^ х, т, , ad' + (1 - a)d² >у CjjXj х - . Рас-

I =i /. / =1

смотрим вектор х^а= ax' + (1 - а)х². Поскольку квадратичная форма У CjjXj Xj строго положительно определена, функция

Ф

у = У СуХ₍ Xj является строго выпуклой. Следовательно,

i-j=I

.

У Cjjxfx" < ad' + (1 -a)d². С другой стороны, /дхо +Тх?т₍. =

i.j =1 73

= am' + (1 - а)пг. Таким образом, выпуклость Г доказана, а это означает, что рыночная граница эффективного множества портфелей выпукла.

Поскольку множество Г_(то,₍/₀) выпукло по своему определению, справедливо следующее утверждение. Множество Г₍,„₀, ^_о) является опорным к П в точке (m₀, do) G Г тогда и только тогда, когда найдется прямая d - d₀ - Л(т - /??₀) = 0, проходящая через точку (то, do), для которой d - do - Л(т - то) SO для любой точки (/77, d)Gn,ud-do-Мт - /»о) ^0 для любой точки (т, d) G Г(ш₀, Д|)- Из последнего неравенства следует, что Л >0.

Заметим, что все прямые, опорные к множеству Г(_то,<1₀) в точке (mo,do), имеют вид d - do - Mm - то) = 0, 0 < Л < оо. Обратно, для любого 0 < Л < оо найдется точка (m₀, d₀) G Г. для которой прямая d- do- Л(т - )щ) = 0 является опорной к Г, то есть Л G [0, оо] параметризует точки кривой Г.

Мы приходим к следующей задаче, решения которой являются Парето оптимальными в исходной двухкритериальной задаче

(4.2.5). Пусть задано произвольное неотрицательное число Л. Рассмотрим задачу

Из вышесказанного следует, что любое решение задачи (4.2.6) является Парето оптимальным для задачи (4.2.5). Задачу (4.2.6) будем называть задачей с комбинированным функционалом.

Используя выпуклость кривой Г, можно уточнить расположение Г на плоскости (пи d). Пусть d = <У(/п)-функция, график которой совпадает с Г. Функция d(m) выпуклая и неотрицательная, следовательно, она имеет не более одной точки минимума. С самого начала естественно предположить, что для любого / = 1, N имеет место неравенство т, > гд (на самом деле это неравенство есть следствие аксиомы рыночного равновесия - рисковая бумага, приносящая меньший доход, чем гарантированный, не «выживет» на рынке). Но тогда функция d(m) определена при т >>'о , и ее очевидный минимум как раз и равен 0 и достигается при т - го. Поскольку минимум единственный, отсюда следует, что функция d(m) монотонно возрастающая на всей области определения (рис 4.2).

Прежде чем перейти к исследованию задачи (4.2.6), покажем, что Парето оптимальные решения задачи (4.2.6) определяют решения следующих двух задач, традиционно изучаемых в финансовой математике. В первой из них мы желаем минимизировать 224

Рис. 4.2. Вид кривой d(m)

риск вложения при заданном средне ожидаемом уровне доходности.

Здесь т - некоторое наперед заданное число, принимающее значение в промежутке между /^-о и М — тл{т,Ш2,..., т^}.

Во второй, наоборот, мы бы хотели при заданном риске максимизировать математическое ожидание дохода.

Здесь S - некоторое наперед заданное число, принимающее значение в промежутке между 0 и S*. равной матричной норме матрицы С = (с,/), если в качестве нормы пространства (л'|, Х2, ..., Х_Л.) принять функцию ||(л'₁,х₂,...,л-_Л')|| = |.v₀| + |х]| + |л-₂| + ... + |.Y,_V|.

Отметим, что решение задачи (4.2.7) называется портфелем Марковица-Тобина минимального риска. Решение задачи (4.2.8) называется портфелем Марковица-Тобина максимальной эффективности.

Заметим, что оптимальное значение минимизируемого функционала в задаче (4.2.7) отвечает точке пересечения кривой Г и прямой т - const. Действительно, по самому определению множества Q и кривой Г минимальное значение риска при заданном значении т есть крайне правая точка сечения Q прямой т = const. Очевидно, что при т > го, множество Г₍,является опорным к Г в точке (d(m),m). Аналогично, оптимальное значение функционала в задаче (4.2.8) отвечает верхнему сечению Q и вертикальной прямой сI = const.

Прежде чем перейти к решению задачи (4.2.6), обсудим роль коэффициента Л в комбинированном функционале

N

У CjjXjXj - Л(.'ог₀ + Y Xjirtj Как было отмечено ранее, коэф-

fpi i=!

фициент Л параметризует точки кривой Г эффективных вложений. С другой стороны, Л является весовым коэффициентом, который численно выражает наше субъективное отношение к соотношению между доходностью и риском выполняемой операции. Если Л = 0, то для нас важно осуществлять вложения с минимальным возможным риском, даже если при этом доходность окажется минимальной. Очевидным решением такой задачи является вложение всех денег в безрисковую бумагу с минимальной доходностью го. Другой крайний случай, - когда значение Л много больше единицы (насколько именно должно быть велико Л, зависит, вообще говоря, от матрицы Cjj). Выбирая такой целевой функционал, мы выражаем готовность вложить деньги в бумагу с очень большим разбросом значений доходности (то есть с большой дисперсией), но с максимальным средним значением доходности. Опять же очевидно, что при таком выборе параметра Л решением задачи является вложение всех средств в одну единственную бумагу с максимальным значением т,. Промежуточные значения параметра Л дают такие решения, для которых имеется нетривиальное соотношение между риском и доходностью. Подчеркнем, что когда Л непрерывно меняется от 0 до + оо, число и номера бумаг, в которые происходит вложение денег (оптимальное в смысле комбинированного функционала), необходимым образом изменяется. Это является принципиальным отличием ставших уже классическими результатов МарковицаТобина о разного рода оптимальных портфелях, в которых число эмитентов фиксировано. Ниже мы предложим методику построения кривой эффективных вложений с анализом изменений в формируемом оптимальном портфеле, в зависимости от выбора комбинированного функционала.