МОДЕЛЬ МАРКОВИЦА ДЛЯ ДВУХ АКТИВОВ

В данной модели, кроме ограничения х + xi - 1, требуется еще выполнение условий л'ь л'г >0. Для параметрического представления х = t, Х2 = - t получается условие 1 Е [0; 1], что означает: критериальное множество в модели Марковица представляет часть критериального множества модели Блэка. Возможные ситуации представлены на рис. 3.10 - 3.13.

Если изобразить критериальные множества на плоскости (о~, Е) для разных коэффициентов корреляции р, то получим треугольник QQ*Qi, соответствующий крайним значениям р = ±1. который сплошь заполнен частями гипербол, отвечающих остальным значениям р(рис. 3.14).

Рис. 3.10. р = 1, все портфели (?,??, — эффективные

Рис. 3.11. p = 1, есть единственное оптимальное решение — второй актив

При коэффициенте корреляции p

°2 ^а

портфель с риском меньшим, чем риск каждого из активов. В этом случае портфель обязательно будет лучше, чем портфель, состоящий только из актива с меньшей доходностью.

Таким образом, как и в модели Блэка, в модели Марковица наличие отрицательной корреляции между доходностями акти-

Рис. 3.12. р =0. участок от О* до О, — эффективные портфели

Рис. 3.13. р=-, все портфели 0* (?, — эффективные

bob позволяет добиться существенного снижения риска в то*м смысле, что оптимальный портфель будет лучше одного актива и не хуже другого. Нахождение параметра ?*, который задает пропорции инвестиций оптимального портфеля, сводится к решению уравнения do~ I dt = 0. Поскольку в модели Марковица требуется неотрицательность вектора х* (t*, 1 - ?*), постольку при f*

Выводы по главе 3

• 1. Основой для построения теории арбитражного ценообразования (APT) является предположение о невозможности арбитража на равновесном рынке. Она утверждает, что ожидаемая доходность ценной бумаги или портфеля подвержена влиянию нескольких факторов. Сторонники APT ослабляют ограничения, присущие классической или многофакторной моделям, что делает ее совершеннее. Более того, ее тестирование не требует выделения «истинного» рыночного портфеля. Однако факторы, которые она использует, требуют эмпирического обоснования, поскольку принципы их выбора не сформулированы теоретически. Таким образом. APT сменила проблему идентификации рыночного портфеля проблемой выбора и оценки «систематических» факторов. При этом проблема эмпирического определения факторов до сих пор полностью не решена.
• 2. Портфель Тобина максимальной эффективности включает в анализ безрисковые активы, что позволяет формировать портфель активов и. кроме того, решение задачи об оптимальном портфеле значительно упрощается.
• 3. В соответствии с моделью оценки стоимости опциона Блэка- Шоулза стоимость опциона определяется пятью факторами: рыночным курсом акции, ценой исполнения, сроком действия опциона, ставкой без риска и риском обыкновенной акции (при этом предполагается, что ставка без риска и риск обыкновенной акции - это постоянные величины в течение всего времени действия опциона).

Эта модель основывалась на возможности осуществления безрисковой сделки с одновременным использованием акции и выписанным на нее опционом. Стоимость (цена) такой сделки должна совпадать со стоимостью безрисковых активов на рынке, а поскольку цена акции меняется со временем, то и стоимость выписанного опциона, обеспечивающего безрисковую сделку, также должна соответствующим образом изменяться. Из этих предположений можно получить оценку (вероятностную) стоимости опциона.

4. Модель Тобина-Шарпа-Линтнера предусматривает возможность безрискового вложения капитала и получения кредита на рисковые инвестиции.