МОДЕЛЬ ТОБИНА-ШАРПА-ЛИНТНЕРА (ТШЛ)
Эта модель в большей степени относится к структуре рынка, а не к структуре портфеля. Считается, что есть безрисковый актив, доходность которого не зависит от состояния рынка (обычно это - государственные ценные бумаги или вклады в большие банки). Если доходность безрискового актива (пусть он на рынке один, его номер - ноль) г,-,, то ожидаемая доходность E(r,i) = гц, СГ(гй) = 0 и соv(r6, г,) = 0 для всех / ^0, последнее означает, что в ковариационной матрице рынка есть нулевая строка и нулевой столбец. Все активы, кроме нулевого, - рисковые, то есть ?Г(г,) > 0 для / = 1, ..., п.
В данной модели портфель с вектором х - (л'о, Xi,..., х„) при л'о & 1 можно представить в виде линейной комбинации безрискового и рискового портфеля: х = хоео + (1 - хо)уо, где, со = (1, 0, 0, ..., 0), это безрисковый портфель, совпадающий с
х. X
безрисковым активом, a Y0 О,—5—1-— - чисто рисковой
1 —Л'о 1 —Л'о
портфель.
Например для п = 3 и х = (0,4; 0,2; 0.3; 0,1) разложение будет иметь вид
Такое разложение играет важную роль при оценке фиксированных активов.
Рассмотрим рынок двух активов, описываемый вектором ожидаемых доходностей Е = (Е, ?3) и матрицей ковариации
гдер=Р)2 - коэффициент корреляции доходностей активов, 0. а2~ стандартные отклонения.
Для модели Блэка, когда допустимы любые значения х и хт лишь бы XI + х'2 = 1, имеем в двухмерном случае прямую на плоскости л'ь л'?, которая составлена из множества допустимых пар. Удобно представить эту прямую в параметрическом виде: .V[ = Г, х2 = 1 — t, тогда каждый портфель описывается так:
х = (/, 1 - t), t - принимает любые вещественные значения (в том числе и отрицательные).
Доходность портфеля
риск портфеля
Оценкой портфеля называют ряд чисел (сг(.х), Е(х)), которую можно изобразить точкой на плоскости CTEq.
Плоскость (cr, Е) называют критериальной. Меняя портфель, то есть меняя вектор х, получают различные оценки, а для них разные точки на критериальной плоскости. Множество всех оценок (то есть множество пар (а~. Е), а не множество портфелей) допустимых портфелей называют критериальным множеством. Если критериальное множество не сводится к одной точке, то возникает проблема выбора. Пусть П0 - некоторый портфель, а Qо = (а-, Е0) - оценка для П0.
Критериальную плоскость можно разделить на четыре квадранта (рис. 3.1). Если какой-то другой портфель П[ имеет оценку в четвертом квандранте, то П| лучше По. так как Е > Ео и ар <а0 Если оценка для П) попадает во второй квандранг, то П| хуже П0, так как Е 0 и ар >а(р (причем для обоих этих квандрантов хотя бы одно неравенство в приведенных парах неравенств - строгое). Если же оценка Q портфеля П| находится внутри (не на пунктирах рисунка) первого или третьего квандрантов. то имеем два таких портфеля, у которых один показатель лучше, чем у другого, но зато второй - хуже.
Рис. 3.1. Соотношение портфелей в критериальной плоскости
Из выражения (3.5.1) найдем, что
а затем после подстановки этого значения t в выражение (3.5.2) получим
Критериальное множество (3.5.3) является параболой на плоскости (Стр, Еп ) (рис. 3.2).
Так как Ор, >0, то есть такой портфель, у которого риск нулевой. Приравнивая (3.5.3) к нулю, имеем
Рис. 3.2. Критериальное множество при р= i для двух активов
Нулевой риск (точка (0. Е*) на графике) - это, конечно, хорошо. но одна из компонент .v* - отрицательная величина, то есть заемные средства. Более того, может быть Е* < 0, так будет либо при 1 > оч/0 > М^)М, либо при 1 < 0^)0 < М->)М. Подобное устранение риска бессмысленно, поскольку означает гарантированный убыток (рис. 3.3).
Рис. 3.3. Гарантированный убыток при использовании заемных средств
В модели Блэка (то есть при наличии заемных средств, что равносильно отрицательности компоненты вектора х) может быть случай, когда Е* > 0, причем возможно, что доходность портфеля как понизится, так и повысится по сравнению с доходностями используемых активов (рис. 3.4, 3.5).
Рис. 3.4. Понижение доходности портфеля
Рис. 3.5. Повышение доходности портфеля
Так для случая, изображенного на рис. 3.5, имеем Е < Ei, 0 > сь. следовательно
Возможно еще одно геометрическое представление для двухмерного случая: при использовании стандартного отклонения
получаем параметрическое задание критериального множества на плоскости (сг, Е) (рис. 3.6), которое будет парой лучей с вершиной в точке (O'. Е). Таким образом, для р- 1 критериальное множество - парабола на плоскости (<72, Е) или пара лучей на плоскости (O', Е), минимальная граница совпадает с критериальным множеством, эффективная граница оценок - верхняя ветвь параболы на плоскости (а2, Е) или верхний луч на плоскости (cr, Е).
Рис. 3.6. Критериальное множество
Пусть для модели Блэка р = 0. В этом случае
Можно опять выразить t через ?)/, подставить в сг^ и получить зависимость Оп2 от Еп, эта зависимость будет, как в предыдущем случае, квадратичной. Для нахождения min сгр, (теперь
?> da„ ..
сгр| > 0 строго!) решим уравнение —— =0
что дает
и
Риск портфеля меньше риска каждого из активов, но устранить его полностью нельзя. Как и в предыдущем случае: минимальная граница совпадает с критериальным множеством, эффективная граница - верхняя ветвь параболы на плоскости (a2, Е) (рис. 3.7).
При р~ -1 получаем
Анализируя зависимости (3.5.6), получим кривые рис. 3.8 и рис.3.9, но
и Q* лежит внутри дуги QQi-
Рис. 3.8. Случай р= -1 для модели Блэка на плоскости (а2 ,Е)
Суть этого факта в том, что риск можно полностью устранить без привлечения заемных средств (xi, xi > 0). Минимальная граница опять совпадает с критериальным множеством, эффективные границы - верхние ветви.
Аналогичный анализ возможен для любых значений р. Можно доказать, что при р 1 полностью устранить риск нельзя. При р > 0 вершина параболы Q* лежит вне дуги QQi, при р <0 - внутри этой дуги.
