МОДЕЛЬ ЦЕНООБРАЗОВАНИЯ ОПЦИОНОВ БЛЭКА-ШОУЛЗА

Модель Блэка [50]

Пусть инвестор ради будущих доходов, желая увеличить свой инвестируемый капитал Р°, находит дополнительную сумму Pg. Тогда при покупке разных активов на суммы РР„° будем

иметь р° + р"р" или, после деления обеих частей этого ра-

/

pg

венства на P", 1 +Уг =V у , где Yg —— . Пусть л'„-н = - У®, тог-

Z. ' Р"

/

//-Н

да получаем как и раньше ^ х, =1, но одна из долей средств.

н вкладываемых в актив /-го типа, а именно величина х, уже отрицательная.

Яено, что в более сложных ситуациях отрицательных компонент, отвечающих заемным средствам, может быть больше одной. Доходность портфеля в этом случае вычисляется в виде

где Рк - стоимость актива в конце периода, Р° - стоимость актива в начале периода, Рк - дополнительный (заемный) актив.

На большинстве фондовых бирж Запада действия, которые математически формализуются в виде х,- < 0, допустимы и часто используются. Но ввиду их особой рискованности обычно есть дополнительные ограничения на такие действия, а по некоторым видам ценных бумаг и полный запрет. Портфели, удовлетворяющие условиям данного рынка, называются допустимыми. В модели Блэка допустимы любые портфели, то есть единственное

ограничение =1-

I

Особенностью модели Блэка является то, что оказывается возможным реализовать любую, сколь угодно большую доходность (но за счет быстро растущего риска!). В самом деле, пусть есть два актива с ожидаемыми доходностями е = 1 и в2 = -1. Для портфеля XI = 1 + V, Х2 = - V доходность

Модель Блэка-Шоулза

Для оценки стоимости опционов наиболее широко используется модель Блэка- Шоулза, разработанная этими учеными в начале 70-х [51]. Первая биржа по торговле опционами. Чикагская биржа опционов (Chicago Board Options Exchange, СВОЕ), начала свою работу в апреле 1973 года в Чикаго. К 1975 году работающие на бирже трейдеры стали пользоваться моделью Блэка- Шоулза как для оценки опционов, так и для хеджирования своих торговых позиций. Такой быстрый выход теории в практическое применение, причем в таких больших масштабах, был беспрецедентным в истории финансов.

С этого времени методика оценки стоимости опционов стала применяться также и для других условных требований, сыграв основополагающую роль при разработке новых финансовых инструментов и создании новых рынков для них в разных концах света. Знание принципов оценки стоимости опционов стало непременным условием при фундаментальном изучении финансовой теории. Опционы, их сущность и виды будут рассмотрены в шестой главе.

Модель позволяет оценивать ценность любого опциона, используя небольшое число данных на входе. Данная модель доказала свою состоятельность для оценки многочисленных опционов, в том числе входящих в биржевые листинги.

Вывод модели Блэка Шоулза слишком сложен, чтобы его здесь приводить. Тем не менее, центральная идея модели состоит в создании портфеля на основе базового актива и безрискового актива с теми же денежными потоками, а потому с той же стоимостью, что и оцениваемый опцион. Стоимость колл-опциона в модели Блэка-Шоулза можно записать как функцию пяти переменных:

С( Т) - цена опциона «колл» на покупку за Т периодов до его выполнения;

5 - курс акций (текущая цена акции);

Е - цена исполнения опциона;

г - безрисковая процентная ставка (непрерывно начисляемая процентная ставка (в пересчете на год) для безрисковых ценных бумаг со сроком погашения, равным сроку истечения опциона);

Т - промежуток времени до срока истечения опциона в годах;

О - риск подлежащей акции, измеряемый стандартным отклонением доходности акции, представленной как непрерывно начисляемый процент (в расчете на год) (риск базового актива в форме стандартного отклонения доходности акций).

Выражение для еправедливой цены европейского опциона на акцию (без учета дивидендов) имеет вид:

где

N(d 1) и N(di) обозначают вероятности того, что при нормальном распределении со средней, равной 0. и стандартным отклонением, равным 1, результат будет соответственно меньше d И й?2-

В табл. 3.3 представлены значения N(d) для различных значений d.

Обратим внимание на тот факт, что ожидаемая доходность акций в выражении для оценки стоимости опциона в явном виде не фигурирует. Ее влияние осуществляется через изменение курса акций. Любые изменения в ожиданиях относительно будущего курса акций или ожидаемой доходности от инвестиций в акции будут приводить к изменению курса акций и, таким образом, к изменению стоимости опциона «колл». Однако при любом заданном курсе акций цену опциона можно определить и не зная ожидаемой доходности акций. Финансовые аналитики, спорящие по поводу ожидаемой доходности акций, вполне могут, исходя из складывающегося курса акций, прийти к единому мнению относительно цены опциона.

В реальной ситуации ни изменчивость (О), ни дивидендная доходность акции (d) не известны с полной определенностью, и опыт свидетельствует о том, что обе эти величины подвержены случайным изменениям стечением времени. На практике используются специально разработанные модели, учитывающие вероятностный характер этих переменных.

Величина N(d) для отдельных значений d

-1,00

0.1587

1.00

0.8413

-2,95

0,0016

-0,95

0.1711

1.05

0.8531

-2,90

0,0019

-0,90

0.1841

1.10

0,8643

-2,85

0,0022

-0,85

0.1977

1,15

0.8749

-2,80

0,0026

-0,80

0,2119

1,20

0.8849

-2,75

0,0030

-0,75

0.2266

1,25

0.8944

-2,70

0,0035

-0,70

0.2420

1.30

0.9032

-2,65

0,0040

-0,65

0.2578

1,35

0.9115

-2,60

0,0047

-0,60

0.2743

1.40

0.9192

-2,55

0,0054

-0,55

0.2912

1.45

0.9265

-2,50

0,0062

-0,50

0.3085

1.50

0.9332

-2,45

0,0071

-0,45

0.3264

1.55

0,9394

-2,40

0,0082

-0,40

0.3446

1,60

0,9452

-2,35

0,0094

-0,35

0.3632

1,65

0,9505

-2,30

0,0107

-0,30

0,3821

1.70

0,9554

-2,25

0,0122

-0,25

0.4013

1.75

0,9599

-2,20

0,0139

-0,20

0.4207

1.80

0.9641

-2,15

0,0158

-0,15

0.4404

1.85

0.9678

-2,10

0,0179

-0,10

0.4602

1.90

0,9713

-2,05

0,0202

-0,05

0.4801

1.95

0,9744

-2,00

0,0228

0,00

0.5000

2,00

0.9773

-1,95

0,0256

0,05

0.5199

2,05

0.9798

-1,90

0,0287

0,10

0.5398

2.10

0.9821

-1,85

0,0322

0,15

0.5596

2.15

0.9842

-1,80

0,0359

0,20

0.5793

2.20

0.9861

-1,75

0,0401

0,25

0.5987

2,25

0.9878

-1,70

0,0446

0,30

0.6179

2,30

0.9893

-1,65

0,0495

0,35

0.6368

2,35

0.9906

-1,60

0,0548

0,40

0.6554

2.40

0.9918

-1,55

0,0606

0,45

0.6736

2,45

0,9929

-1,50

0,0668

0,50

0.6915

2,50

0,9938

-1,45

0,0735

0,55

0,7088

2,55

0,9946

-1,40

0,0808

0,60

0,7257

2,60

0,9953

-1,35

0,0885

0,65

0.7422

2,65

0.9960

-1,30

0,0968

0,70

0.7580

2,70

0.9965

-1,25

0,1057

0,75

0,7734

2,75

0,9970

-1,20

0,1151

0,80

0.7881

2,80

0,9974

-1,15

0,1251

0,85

0.8023

2,85

0.9978

Заметим, что из факторов, влияющих на цену опциона, пять включены в формулу. Однако шестой фактор (ожидаемые дивиденды) не включен, так как эта модель игнорирует выплачиваемые дивиденды. Четыре из этих факторов - цена исполнения, текущая цена акций, время до погашения и безрисковая процентная ставка - известны. Стандартное отклонение цены акций необходимо оценить.

Цена опциона, получаемая из модели Блэка Шоулза, - справедливая цена в том смысле, что при любой другой цене имеется возможность получения безрисковой арбитражной прибыли с помощью открытия компенсирующей позиции по соответствующим акциям; так. если рыночная цена «колл»-опциона выше полученной по модели Блэка Шоулза, то инвестор может продать «колл»-опцион и купить некоторое количество акций. И наоборот, если рыночная цена «колл»-опциона ниже справедливой цены, то инвестор может купить «колл»-опцион и совершить «короткую» продажу некоторого числа акций. Такая процедура хеджирования путем открытия позиции по соответствующим акциям позволяет инвестору получить безрисковую арбитражную прибыль. Число акций, необходимое для хеджирования позиции, меняется в соответствии с изменениями факторов, влияющих на цену опциона, следовательно, хеджирующая позиция должна постоянно меняться.

Например, рассмотрим опцион «колл», который истекает через три месяца и имеет цену исполнения S40 (таким образом, Т = 0,25 и Е = 40). Кроме того, текущий курс и риск базисной обыкновенной акции составляют соответственно $36 и 50%, а ставка без риска равна 5% (таким образом, S = 36, г - 0,05 и О =0,50).

Решение уравнений (3.4.3) дает следующие значения d и dr.

Воспользуемся теперь табл. 3.1 для получения значений N(d) и Nidi.)

Наконец, используем уравнение (3.4.2) для определения действительной стоимости опциона «колл»:

Если в настоящий момент этот опцион продается за S5, то инвестору следует подумать, не выписать ли несколько опционов. Так как они переоценены (согласно модели Блэка-Шоулза), то можно предположить, что в ближайшем будущем их цена упадет. Таким образом, продавец получит премию $5 и сможет рассчитывать на закрывающую позицию покупку по более низкой цене, что принесет ему доход от разницы цен. Напротив, если опцион «колл» продается за $1, то инвестору следует купить его. Так как он недооценен, то можно ожидать роста его стоимости в будущем.

Из анализа формулы Блэка-Шоулза можно получить следующие зависимости для стоимости европейского опциона на продажу:

  • • увеличение курса подлежащих акций приводит к росту цен на опционы «колл» и снижению цен на опционы «пут»;
  • • увеличение цены исполнения приводит к снижению цен на опционы «колл» и росту цен на опционы «пут»;
  • • усиление изменчивости курса акций приводит к росту цен как на опционы «колл», так и на опционы «пут»;
  • • увеличение промежутка времени до даты истечения опциона приводит к росту цен на опционы «колл» и росту цен на опционы «пут»;
  • • увеличение процентной ставки приводит к росту цен на опционы «колл» и снижению цен на опционы «пут»;
  • • увеличение дивидендной доходности приводит к снижению цен на опционы «колл» и росту цен на опционы «пут».

Модель Блэка- Шоулза основывается на нескольких ограничительных предположениях. Эти предположения необходимы для реализации возможности получения безрисковой арбитражной прибыли в случае, если рыночная цена опциона на покупку будет отличаться ог полученной на основе модели. Мы рассмотрим эти предположения и упомянем о некоторых обобщениях модели Блэка- Шоулза, которые делают оценку более реалистичной.

Модель Блэка-Шоулза предполагает, что опцион на покупку является европейским опционом. Поскольку модель Блэка-Шоулза разработана для акции без дивидендов, более раннее исполнение опциона будет невыгодным, так как держатель опциона может возместить временную премию по опциону путем продажи, а не исполнения опциона на покупку.

Модель Блэка-Шоулза предполагает, что вариация (дисперсия) цены акций: 1) постоянна в течение срока действия опциона; 2) известна с точностью. Если пункт 1 не выполняется, то может быть использована модель оценки опционов, которая допускает изменение цены акций. Нарушение пункта 2 более серьезно. Поскольку модель Блэка Шоулза основывается на аргументах безрискового хеджирования, для осуществления настоящего хеджирования вариация цены акций должна быть известна; если вариация неизвестна, хеджирование не будет безрисковым.

Чтобы построить модель оценки опционов, необходимо сделать предположения о том, как меняются цены акций. Модель Блэка- Шоулза основана на предположении, что цены акций обусловливаются только одним видом стохастических (случайных) процессов - диффузионным процессом. В диффузионном процессе цена акций может принимать любое положительное значение, но при переходе от одного значения к другому она должна пробегать все промежуточные значения, т.е. курс акций не может изменяться скачкообразно от одного значения к другому, «перепрыгивая» через промежуточные значения. Альтернативным предположением является то, что цена акций следует скачкообразному процессу, т.е. цены не являются «непрерывными и гладкими», а «прыгают» от одного значения к другому, минуя промежуточные значения.

При выведении модели Блэка-Шоулза были сделаны два предположения, касающиеся безрисковой процентной ставки. Во-первых, предполагалось, что процентные ставки для займов и кредитов одинаковы. Во-вторых, процентная ставка в течение срока действия опциона постоянна и известна. Первое предположение вряд ли выполняется, так как ставки для займов выше, чем для кредитов. Влияние этого расхождения на модель Блэка- Шоулза будет следующим: цена опциона будет заключена между ценами опционов на покупку, соответствующими этим двум процентным ставкам. Второе предположение можно «обойти», заменив безрисковую ставку на период до погашения опциона на геометрическое среднее доходностей по периодам, составляющим период действия опциона.

Изначально модель Блэка- Шоулза была разработана для акций. не приносящих дивиденды. В случае акций, приносящих дивиденды, держателю опциона на покупку может быть выгодно исполнить опцион раньше. Чтобы объяснить, почему это так, предположим, что по акции выплачиваются дивиденды, которые могут быть получены при исполнении опциона до его погашения. Если дивиденды плюс проценты, полученные от реинвестирования дивидендов за период до истечения опциона, больше временной премии по опциону, то оптимальным будет исполнение опциона. В случае когда будущие дивиденды неизвестны с достоверностью, невозможно построить модель с использованием арбитражных соображений.

Случай известных дивидендов можно свести к модели Блэка- Шоулза путем уменьшения цены акций на величину, равную текущему значению дивидендных выплат. Блэк предложил метод приближенной оценки опционов на покупку акций, приносящих дивиденды. Его подход состоял в том, что инвестор в момент покупки «колл»-опциона и для каждого последующего периода определяет точную дату, когда опцион будет исполнен.

Модель Блэка-Шоулза игнорирует налоги и операционные издержки. Модель может быть модифицирована, чтобы учитывать налоги, но дело в том, что налоги не единственные издержки. Стоимость сделки включает комиссию, спред цен спроса и предложения и другие издержки, связанные с торговлей опционами.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ ОРИГИНАЛ   След >