ПОРТФЕЛЬ ТОБИНА

Влияние «портфельной теории» Марковица значительно усилилось после появления в конце 50-х - начале 60-х гг. работ Джеймса Тобина по аналогичным темам [71, 72, 73]. Здесь следует отметить некоторые различия между подходами Марковица и Тобина. Подход Марковица лежит в русле микроэкономического анализа, поскольку он акцентирует внимание на поведении отдельного инвестора, формирующего оптимальный, с его точки зрения, портфель на основе собственной оценки доходности и риска выбираемых активов. К тому же первоначально модель Марковица касалась в основном портфеля акций, т.е. рисковых активов. Тобин также предложил включить в анализ безрисковые активы, например государственные облигации. Его подход является, по существу, макроэкономическим, поскольку основной объект его изучения - распределение совокупного капитала в экономике по двум его формам: наличной (денежной) и неналичной (в виде ценных бумаг). Акцент в работах Марковица делался не на экономическом анализе исходных постулатов теории, а на математическом анализе их следствий и разработке алгоритмов решения оптимизационных задач. В этом смысле Марковиц больше математик, а Тобин, прежде всего, экономист. Его интересы лежат в области фундаментальных проблем экономики, где он продолжает традицию классиков, особенно Кейнса. В подходе Тобина основной темой становится анализ факторов, заставляющих инвесторов формировать портфели активов, а не держать капитал в какой- либо одной, например налично-денежной, форме. Кроме того. Тобин проанализировал адекватность количественных характеристик активов и портфелей, составляющих исходные данные в теории Марковица. Возможно поэтому Тобин получил Нобелевскую премию на девять лет раньше (1981), чем Марковиц (1990).

Крупнейший американский экономист Д. Тобин заметил, что если на рынке есть безрисковые бумаги (к таким можно с некоторой натяжкой отнести государственные ценные бумаги), то решение задачи об оптимальном портфеле сильно упрощается и приобретает замечательное новое качество.

В параграфе 2.4.1 был рассмотрен портфель с безрисковым активом и получена связь между ожидаемой доходностью Е(г) и риском О в виде зависимости (2.4.4):

где г а - безрисковая ставка доходности (эффективность безрисковых бумаг); Е(г_р) - ожидаемая ставка доходности рискованного актива; о_р = _yjD_p - стандартное отклонение доходности рискованного актива; D_p - дисперсия (вариация) рисковой части портфеля, вариация портфеля равна Vn = (1 - xq)~D_p и риск портфеля равен О и = (1 - х₀)О_р.

Если .т₀ - доля капитала вложенного в безрисковую часть портфеля, а (1 - *о) - безрисковая доля портфеля, то задача Марковица об оптимальном портфеле в этом случае такова:

Изложим решение этой задачи, полученное Тобиным. Пуеть Q - матрица ковариаций рисковых видов ценных бумаг, X = (а,), V — (v/) - вектор-столбец долей А' капитала, вкладываемых в /-й вид рисковых ценных бумаг и ожидаемых эффективностей этого вида, / = 1,..., п. Пусть также / - л-мерный вектор- столбец. компоненты которого равны 1. Тогда оптимальное значение долей х, есть

Здесь Q ¹ - матрица, обратная к О. В числителе дроби стоит число, в знаменателе, если выполнить все действия (операция транспонирования первого сомножителя в знаменателе не указана, но подразумевается), тоже получится число, причем константа, определяемая рынком и не зависящая от инвестора, D '(К- г г,Г) - вектор-столбец размерности п. Как видим, этот вектор не зависит от эффективности портфеля Е(г_р). Таким образом, вектор долей рисковых видов ценных бумаг, пропорциональный этому вектору, также не зависит от Е(г_р). Следовательно, структура рисковой части портфеля не зависит от Е(г_р). Однако сумма компонент вектора X* зависит от Е(г_р), а именно, компоненты вектора X* пропорционально увеличиваются с ростом Е(г_р), поэтому доля Л'о безрисковых вложений будет при этом сокращаться.

Выразим риск оптимального портфеля в зависимости от его доходности. Для этого в формулу вариации портфеля V_n = X'CIX подставим оптимальный вектор X* из формулы (3.2.3), обозначив знаменатель формулы (3.2.3) через d~. Получим

Окончательно

Можно также написать выражение эффективности оптимального портфеля от его риска

что перекликается с результатами параграфа 2.4.1.

Полученный оптимальный портфель называется портфелем Тобина минимального риска, т.е. портфель Тобина - это портфель Марковица при наличии на рынке безрисковых ценных бумаг.

Если на рынке есть безрисковые бумаги, то задача формирования портфеля максимальной эффективности имеет решение, похожее на решение Тобина в предыдущей постановке.

Оптимальное значение долей х, рисковых бумаг есть

В матрично-векторной форме задача формирования портфеля максимальной эффективности при наличии на рынке безрисковых ценных бумаг такова:

Для нахождения условного максимума составим функцию Лагранжа

Находим частные производные L по X и по .y₀ и приравниваем их к нулю

Выразим из второго уравнения Л| и подставим в первое, получим V - г el - - Л)ОЛ'. так что

Для нахождения До подставим найденное X в равенство ХС1Х = Оц², получим

отсюда

1 ² О²

Обозначая --- =(v —r₆I)О^ч (к —r-l). получаем —— — -Ц-,

d~ A) d

или —— =°^п и окончательно X* =-^-(V —r₆I), т.е. формулу A) d d

(3.2.4).

Опять видно, что структура рисковой части оптимального в этом смысле портфеля также не зависит от ограничения на величину риска.

Будем называть полученный оптимальный портфель портфелем Тобина максимальной эффективности.