МОДЕЛИ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ЦЕН ОСНОВНЫХ АКТИВОВ

МОДЕЛЬ ТЕОРИИ АРБИТРАЖНОГО ЦЕНООБРАЗОВАНИЯ

Модель САРМ (ЦМРК) является равновесной моделью, объясняющей, почему различные ценные бумаги обладают разными ожидаемыми доходностями. Эта модель образования цен на финансовые активы, в частности, утверждает, что ценные бумаги обладают различными доходностями вследствие различных коэффициентов «бета». Однако существует альтернативная модель ценообразования. разработанная Стефаном Россом. Эта теория, известная как теория арбитражного ценообразования (APT), в некотором смысле является менее сложной, чем САРМ [67, 68].

САРМ-модель требует выполнения большого числа предположений. включая предположения, сделанные Гарри Марковицем при разработке базовой стохастической модели, например, о том, что каждый инвестор выбирает свой оптимальный портфель, используя кривые безразличия, учитывающие ожидаемый доход и стандартное отклонение. В то же время модель APT основана на меньшем числе предположений. Главным предположением теории является то, что каждый инвестор стремится использовать возможность увеличения доходности своего портфеля без увеличения риска. Механизмом, способствующим реализации данной возможности. является арбитражный портфель.

Существенная особенность арбитражной теории ценообразования состоит в том, что рассматривается определенное множество факторов, оказывающих влияние на ожидаемую доходность как по каждому виду ценных бумаг, так и по фондовому рынку в целом. Построение уравнений арбитражной теории ценообразования опирается на использование следующих основных предположений:

• • финансовые рынки являются совершенными;
• • в условиях рыночного равновесия невозможен арбитраж, т.е. такая инвестиционная стратегия, которая обеспечивает положительный доход при нулевых или даже отрицательных чистых инвестициях;

• в условиях равновесия на финансовых рынках доходность отдельных ценных бумаг и фондового рынка в целом описывается линейным многофакторным уравнением, сами эти факторы окончательно определяются в процессе экспериментальных расчетов.

Среди указанных предпосылок особенно важной является последняя, которая означает, что проводить анализ и получать надежные прогнозы доходности рынка и отдельных рисковых финансовых инструментов с помощью моделей арбитражного ценообразования можно только в условиях рыночного равновесия. При отклонении от состояния равновесия на финансовых рынках более важную роль играют спекулятивные факторы, определяющие возможность арбитража.

Под арбитражем на финансовых рынках понимается возможность извлечения дохода за счет разницы цен, т.е. чисто спекулятивных операций. В условиях наличия арбитража для инвестора главную и определяющую роль при формировании его политики играют спекулятивные факторы, все остальные отступают на задний план. Поэтому выделение и анализ многофакторных моделей доходности фондового рынка и отдельных рисковых активов имеют смысл только в состоянии рыночного равновесия при отсутствии возможностей арбитража.

Предпосылка о совершенных финансовых рынках позволяет считать, что каждый инвестор может формировать портфель из рисковых и безрисковых вложений любой необходимой структуры вследствие произвольной делимости финансовых инструментов и их абсолютной ликвидности, а также возможности осуществления «короткой продажи».

Арбитраж - это получение безрисковой прибыли путем использования разных цен на одинаковые продукцию или ценные бумаги. Арбитраж, являющийся широко распространенной инвестиционной тактикой, обычно состоит из продажи ценной бумаги по относительно высокой цене и одновременной покупки такой же ценной бумаги (или ее функционального эквивалента) по относительно низкой цене.

Однако, следует понимать, что такая возможность реализуется редко. В самом деле, арбитражер с неограниченной возможностью осуществления «коротких» продаж может немедленно выровнять дисбаланс цен на этих рынках, если профинансирует покупку актива на рынке с низкой ценой за счет его «короткой» продажи на рынке с высокой ценой. Это означает, что возможность безрискового арбитража очень кратковременна.

Арбитражная деятельность является важной составляющей современных эффективных рынков ценных бумаг. Поскольку арбитражные доходы являются безрисковыми по определению, то все инвесторы стремятся получать такие доходы при каждой возможности. Правда, некоторые инвесторы имеют большие ресурсы и наклонности для участия в арбитраже, чем другие. Однако для реализации и исчерпания арбитражных возможностей (вследствие покупок и продаж акций) достаточно меньшего числа инвесторов, чем имеется желающих принять участие в этих операциях.

Менее явная возможность арбитража существует в том случае, если удается сконструировать портфель активов, имеющий идентичный с некоторым другим активом поток доходов, но с меньшей ценой, чем этот актив. Данный вид арбитража основан на фундаментальном принципе теории финансов, носящем название закон единой цены. Его суть состоит в том, что если поток доходов, порождаемый данным активом, совпадает с потоком доходов от искусственно созданного пакета других активов, то стоимости актива и (копирующего) его пакета должны совпадать.

Если обнаруживается различие цен актива и пакета активов с одинаковыми потоками доходов, то инвесторы будут осуществлять с ними арбитражные сделки, что в конечном счете приведет к выравниванию цен и восстановлению равновесия. Наличие рыночного механизма, восстанавливающего равновесие, и предполагается теорией арбитражного ценообразования, при этом считается также, что проведение арбитражной сделки не столкнется с непредусмотренным в ней изменением цен.

Сущность арбитража проявляется при рассмотрении различных цен на определенную ценную бумагу. Однако «почти арбитражные» возможности могут существовать и у похожих ценных бумаг или портфелей. Определить, подходит ли ценная бумага или портфель для арбитражных операций, можно различными способами. Одним из них является анализ общих факторов, которые влияют на курс ценных бумаг.

Факторная модель подразумевает, что ценные бумаги или портфели с одинаковыми чувствительностями к факторам ведут себя одинаково, за исключением внефакторного риска. Поэтому ценные бумаги или портфели с одинаковыми чувствительностями к факторам должны иметь одинаковые ожидаемые доходности, в противном случае имелись бы «почти арбитражные» возможности. Но как только такие возможности появляются, деятельность инвесторов приводит к их исчезновению. Это - существенное рассуждение, лежащее в основе APT.

В соответствии с APT инвестор исследует возможности формирования арбитражного портфеля для увеличения ожидаемой доходности своего текущего портфеля без увеличения риска.

APT исходит из предположения о связи доходности ценных бумаг с некоторым количеством неизвестных факторов.

Доходность отдельных видов ценных бумаг, как и фондового рынка в целом, описывается следующим уравнением регрессии:

где ?(г,) - доходность /-ой ценной бумаги, / =1 ,п; F_k - значение к-го фактора, к =1 ,т; я, - свободный член уравнения; b_jk - коэффициент чувствительности ценной бумаги / к фактору к ej - случайная переменная с нулевым математическим ожиданием и отличной от нуля дисперсией, независимая от рассматриваемых факторов.

Основная проблема APT в том, что перечень и экономический смысл факторов, которые учитываются при построении уравнения

(3.1.1), заранее не определяются и должны быть установлены в процессе расчетов. По оценкам американских экономистов, число значимых факторов обычно колеблется от трех до пяти.

В числе факторов прежде всего выделяют:

• • основные макроэкономические показатели: валовой внутренний продукт, темп роста объема промышленного производства, темпы роста доходов населения, уровень инфляции и т.п.;
• • показатели, характеризующие рынок капитала: темпы роста доходности на биржевой индекс, разница между процентными ставками - краткосрочной и долгосрочной, разность между ставками процента по государственным и корпоративным облигациям (процентный спрэд), по долгосрочным и краткосрочным обязательствам (временной спрэд) и др.;
• • прочие экономические показатели, например изменение цен на цефть и другие энергоносители, темпы роста тех или иных государственных расходов и т.п.

Например, известная американская фирма «Salomon Brothers» использовала при практической разработке моделей рассматриваемого вида следующие факторы:

• 1) темпы роста валового национального продукта;
• 2) ожидаемая величина инфляции;
• 3) процентная ставка;
• 4) процент изменения цен на нефть;
• 5) темп роста расходов на оборону.

В то же время американские экономисты Р. Ролл и С. Росс отметили, что для объяснения структуры доходности необходимо, по крайней мере, три фактора. Другие американские экономисты - Ю. Фама и К. Френч показали, что месячная доходность акций может определяться тремя статистически значимыми факторами: рыночным индексом, размером рыночной капитализации и соотношением балансовой и рыночной стоимости акций. В процессе расчетов могут быть выбраны и другие факторы.

Для полной оценки качества модели арбитражного ценообразования и устойчивости выделенной группы факторов после окончательного обоснования факторов требуется сделать еще один шаг: оценить параметры уравнения регрессии второго порядка, где зависимая переменная - доходность актива или фондового рынка, а независимые - коэффициенты чувствительности и, соответственно, бэта для однофакторной модели, оцененные по различным временным промежуткам. Анализ полученного уравнения и его статистических характеристик могут показать, насколько устойчивыми являются полученные соотношения.

Предположим, что имеется только один фактор и этим фактором является предсказанный темп роста промышленного производства. В таком случае доходность ценных бумаг определяется в соответствии со следующей однофакторной моделью:

где ?(/•,) - ставка доходности ценной бумаги /; F - значение фактора, которым в данном случае является предсказанный темп роста промышленного производства; я,-- ожидаемая доходность актива /; b,• - чувствительность ценной бумаги / к значению фактора (/ц);

При формировании арбитражного портфеля следует соблюсти два условия. Во-первых, это портфель, который не нуждается в дополнительных ресурсах инвестора. Если через V, обозначить изменение в стоимости ценной бумаги / в портфеле инвестора (а значит, и ее вес в арбитражном портфеле), то это требование к арбитражному портфелю может быть записано так:

Во-вторых, арбитражный портфель не чувствителен ни к какому фактору. Поскольку чувствительность портфеля к фактору является взвешенной средней чувствительностей ценных бумаг портфеля, то это требование арбитражного портфеля в общем виде может быть записано так:

Здесь by чувствительность /-го фактора на /-ый, a j - число факторов.

Инвесторы будут формировать также арбитражные портфели, пока не будет достигнуто равновесие. Это означает, что равновесие будет достигнуто, когда любой портфель, удовлетворяющий уравнениям (3.1.3) и (3.1.4) будет иметь нулевую ожидаемую доходность.

Модель APT утверждает, что доходность актива / как случайная величина выражается следующим образом для двухфакторной модели:

Предположим, что инвестор обладает рисковыми акциями трех видов Г, /, L и одной безрисковой акцией. Ожидаемые доходности и чувствительности к двум факторам, например к состоянию промышленного производства и уровню инфляции, для каждой из бумаг заданы в табл. 3.1.

Составляем на основании формул (3.1.3) и (3.1.4) систему уравнений

Так как в системе четыре неизвестных, а уравнений три, то имеется бесконечное множество решений. Одно из решений выбираем произвольно. Пусть V = -0,1, тогда в результате решения получим V₂ = 0.041, Vi = 0,074, V₄ = -0,015.

Полученные доли представляют потенциальный арбитражный портфель. Вычисляем ожидаемую доходность: -0,1 • 9,5 + + 0,041 • 13 + 0,074 • 21 -0.015 • 8,5 = 1,095 > 0. Так как ожидаемая доходность положительная, то найден арбитражный портфель.

Этот арбитражный портфель предполагает покупку акций / и L за счет продажи акций Т и S'. Следовательно, деятельность по покупке и продаже повысит курсы акций / и L и понизит курсы акций Т и 5. В свою очередь это означает, что ожидаемые доходности акций I и L понизятся, а акций Ти S повысятся.

Инвесторы будут формировать также арбитражные портфели, пока не будет достигнуто равновесие. Это означает, что равновесие будет достигнуто, когда любой портфель, удовлетворяющий системе (3.1.6), будет иметь нулевую ожидаемую доходность. При этом связь между доходностями и чувствительностями будет линейной

Можно считать, что здесь три переменные E(i)),b_n, b_i2.

Таким образом, для получения портфеля с нулевой ожидаемой доходностью нужно будет найти большое число решений системы (3.1.6) и соответствующих им доходностей, что возможно только с применением стандартных программ.

В рассматриваемом примере одним из равновесных сочетаний являются До = 8,5, Д| = 5, = -2.

В результате четыре рассматриваемые акции имеют следующие равновесные значения ожидаемых доходностей:

Ожидаемые доходности акций / и L упали, тогда как ожидаемые доходности акций Ти S возросли. Изменение спроса и предложения вследствие инвестиций в арбитражные портфели привело к изменениям ожидаемых доходностей в предсказанных направлениях.

Механизм влияния арбитражного портфеля на первоначальный портфель становится ясным из анализа табл. 3.2.

Таблица 3.2

Влияние арбитражного портфеля

Под термином старый портфель мы подразумеваем портфель, который отвечает эффективному портфелю (табл. 2.8). Соединяем его с арбитражным портфелем и получаем новый портфель с более высокой доходностью, который соответствует эффективному портфелю на рис. 2.21.

Рассмотрим уравнение (3.1.7). Если актив не чувствителен к

факторам, то Ьц = b,i = 0 и Е (r,j = Л) и если существует безрисковый актив, то Е (г,) = /'б= Д₀- Тогда уравнение (3.1.7) принимает вид:

Теперь рассмотрим хорошо диверсифицированный портфель, имеющий единичную чувствительность к первому фактору и нулевую - ко второму.

Такой портфель называется чистым факторным портфелем, так как он: обладает единичной чувствительностью к единственному фактору; не чувствителен ни к какому другому фактору; имеет нулевой нефакторный риск. А именно b = 1 и Ы - 0. Из уравнения (3.1.8) следует, что ожидаемая доходность этого портфеля, обозначаемая е₄, равна гд + Л|, т.е. е₄ - г б = Д|. Тогда уравнение (3.1.8) может быть переписано так:

В примере табл. 3.1 е₄ - г б = 5. Это означает, что е₄ = 13,5, так как Гб = 8,5. Другими словами, портфель, имеющий единичную чувствительность к предсказанному состоянию промышленного производства (первый фактор) и нулевую чувствительность к предсказанному уровню инфляции (второй фактор), будет обладать ожидаемой доходностью 13,5%, что на 5% больше, чем безрисковая 8,5%-ная ставка.

Наконец, рассмотрим портфель, имеющий нулевую чувствительность к первому фактору и единичную чувствительность ко второму фактору, т.е. Ь = 0 и /ь ⁼ 1 • Из уравнения (3.1.7) следует, что ожидаемая доходность этого портфеля, обозначаемая гц + А>- Поэтому ег - га = А>, а уравнение (3.1.9) может быть переписано так:

Это есть уравнение ценообразования APT для двухфакторной модели.

В примере табл. 3.1 ei- г,-, = -2. Это означает, что ег = 6,5, так как гц = 8,5. Другими словами, портфель, имеющий нулевую чувствительность к предсказанному состоянию промышленного производства (первый фактор) и единичную чувствительность к предсказанному уровню инфляции (второй фактор), будет обладать ожидаемой доходностью 6,5%, что на 2% меньше, чем безрисковая 8,5%-ная ставка.

Основные преимущества APT перед ЦМРК заключаются в том, что она не делает ограничительных предположений о предпочтениях инвестора относительно риска и доходности, относительно функций распределения доходностей ценных бумаг и не предполагает построения «истинного» рыночного портфеля.

Вместе с тем APT не слишком широко используется инвесторами. Основная причина этого заключается в неопределенности относительно факторов, которые систематически влияют на доходы по ценным бумагам.

Под арбитражем в широком смысле этого слова понимается возможность извлечения дополнительного безрискового дохода вследствие различия цен на те или иные одинаковые товары или одни и те же виды ценных бумаг на различных товарных или фондовых рынках. Основы теории арбитража были сформулированы известным американским экономистом французского происхождения Жераром Дэбре, который в 1983 г. получил Нобелевскую премию по экономике за новые подходы к общей теории экономического равновесия.

Арбитраж представляет собой одну из возможных стратегий поведения инвестора на соответствующем финансовом или ином рынке, которая включает два основных направления этой деятельности:

• • во-первых, речь идет о том, чтобы приобретать соответствующие товары или ценные бумаги по относительно низкой цене, и продавать их же (в данный период или одновременно) по относительно более дорогой цене, извлекая дополнительный доход за счет разницы на различных рынках;
• • во-вторых, если на фондовом рынке обращаются простые акции, имеющие один и тот же курс, но разную ожидаемую доходность, то можно, продавая акции относительно более низкой ожидаемой доходностью и приобретая акции с относительно более высокой ожидаемой доходностью, получать дополнительный арбитражный доход в следующем периоде.

Основная особенность арбитража как инвестиционной стратегии состоит в том. что реализация этой стратегии позволяет извлекать доход при нулевых чистых инвестициях, если соответствующий товар или ценная бумага уже находятся в собственности инвестора.

Арбитраж или наличие арбитража на рынке позволяет судить о равновесии рынка и о том, насколько быстро рынок может в это состояние вернуться. В любом случае, поскольку речь идет о безрисковом доходе, все инвесторы будут стремиться реализовать арбитражные стратегии, тем сильнее будет меняться спрос или предложение соответствующих ценных бумаг и рынок быстрее будет приходить в состояние равновесия, в котором нет возможности извлекать арбитражный доход. Именно в этом состоит смысл использования факторных моделей для прогнозирования доходности фондового рынка и отдельных финансовых инструментов в условиях рыночного равновесия, когда ценные бумаги или портфели с одинаковой чувствительностью к рассматриваемым факторам, имеют одинаковые ожидаемые доходности, хотя могут различаться нефакторным риском.