Сравнение методов оптимизации портфелей

Исследуем портфель составленный в предыдущем п. 2.7.3 с помощью симплексного метода изложенного в п. 2.6.

Для выбранных доходностей ? = 0.14и? = 0Л8 были составлены оптимальные портфели (табл. 2.8)

Исходя из формулы (2.5.3) определим коэффициенты /3 для акций Т. I, L.

При Е = 0.14 акции Т. /. L, 5 входили в состав оптимального портфеля в долях V = 0,124, Vi - 0,127, Из = 0,384, И» = 0,365 при этом CT_mm = 0,2436.

Тогда ковариация между доходностью j-й ценной бумаги и доходностью рыночного портфеля определяется как

Коэффициенты «бета» равны:

Формулируем задачу линейного программирования: максимизировать функцию

при ограничениях

Здесь величина «бета» портфеля обозначена через /3//.

При уровне доходности Е = 0,18 акции компаний Т, /, L, S входят в портфель в долях

Коэффициенты «бета» в этом случае равны:

Аналогично (2.7.26) запишем задачу линейного программирования Z = 0,095 У + 0,13К₂ + 0,21 F₃ + 0,085 V_A -> max при ограничениях

Результаты решения задач (2.7.26) и (2.121) для различных /?// с использованием стандартных программ на ЭВМ сведены в табл. 2.9.

Таблиц а 2.9

Из табл. 2.9 видно, что с ростом риска r_mj_n растет прибыль и с ростом «бета» портфеля растет величина максимального дохода Е_тах.

Далее рассмотрим пример составления оптимального портфеля ценных бумаг с применением ЦМРК (САРМ).

Ранее было отмечено, что существует бесконечное число портфелей, доступных для инвестора, но в то же время инвестор должен рассматривать только те портфели, которые принадлежат эффективному множеству. Однако эффективное множество Марковица представляет собой изогнутую линию, что предполагает наличие бесконечного числа точек на ней. Это означает, что существует бесконечное количество эффективных портфелей. Как может быть использован подход Марковица, если инвестору необходимо определить структуру каждого из бесконечного числа эффективных портфелей. Марковиц видел эти потенциальные проблемы и внес основной вклад в их преодоление, представив метод их решения. Он включает в себя алгоритм квадратического программирования, известный как метод критических линий.

Рассмотрим портфель из четырех акций (табл. 2.6), для которых известны коэффициенты линейной корреляции и ковариационная матрица Q. Прежде всего составляем портфель из трех рискованных акций компаний Т, /. L.

Для нахождения эффективного множества определяем «угловые» портфели, которые связаны с ценными бумагами и полностью описывают эффективное множество. «Угловой» портфель - это эффективный портфель, обладающий следующими свойствами: любая комбинация двух смежных «угловых» портфелей представляет из себя третий портфель, лежащий в эффективном множестве между двумя «угловыми» портфелями. Данное утверждение можно проиллюстрировать примером.

Алгоритм начинается с определения портфеля с наивысшей ожидаемой доходностью. Данный портфель соотносится с точкой L на рис. 2.21 и является эффективным. Его состав описыва-

0

ется следующим вектором весов, обозначенным V()= 0 .

1

Его ожидаемая доходность и стандартное отклонение связаны только с ожидаемой доходностью и стандартным отклонеI п

нием акций L и соответственно составляют 21% и (0,4) , или 63,24%. На рис. 2.21 данный «угловой» портфель обозначен как П (1).

Рис. 2.21. «Угловые» портфели

Составляем «угловой» портфель из акций / и L. Его состав описываем следующим вектором весов:

по формуле (2.4.7) находим Vi - 0.652, V3 = 0.348. Ожидаемая доходность Е = 0,13 ? 0,652 + 0,21 • 0,348 = 0.158, а стандартное отклонение по формуле (2.4.6) равно 0,436, или 43,6%. На рис. 2.21 данный портфель обозначен как П(2).

Определяем третий «угловой» портфель, который имеет следующий состав:

состоящий из акций Т и /, для него Е_р = 0.106, О_р = 0,248. На рис. 2.21 это точка П (3).

«Угловой» портфель, состоящий из акций Т и L имеет следующий весовой состав:

Для портфеля П(4) находим, что Е_р= 0,117 и О_р = 0,288.

Нами в четвертой главе будет доказано, что верхняя ветвь эффективного множества представляет собой параболу вида

Проведем параболу через три точки П( 1) (?^1; /'1), П(2) (Е_ру, г₂) и П(3) (Е_ру, гз), координаты которых берем из табл. 2.10. Нетрудно показать, что параметры а, /;, с определяются по формулам

Подставляя сюда координаты точек П(1), П(2) и П(3), получим, что а = -0,02940: b = 0,29671 и с = 0,03423. Тогда рыночная эффективная граница описывается уравнением

Таблица 2.10

«Угловые» портфели в случае трехрисковых акций

Если подставить сюда координаты точки П(4) из табл. 2.10, то получим тождество. Это наглядно говорит о том, что рыночная эффективная граница описывается параболой.

После того, как были определены структура и местоположение эффективного множества, можно определить состав оптимального портфеля инвестора.

Рассмотрим рисковой портфель с Е_р = 0.158. На графике рис. 2.21 ему соответствует О_р = 0,436.

Из формулы (2.4.3) имеем

Выбирая доходность портфеля, равной Ец = 0,15, получим 0,15 = 0,158 • V+ (1 - V) ? 0,085 или V = 0,89.

Это означает, что оптимальный портфель состоит из 0.11, или 11% безрисковых акций и 0,89 или 89% рисковых акций.

Далее нужно определить состав рисковой части оптимального портфеля V, Fi, V}. Для этого составляем систему

Решение этой системы равно: V - 0.0015, Vi - 0,585, Vy = 0,4135. Следовательно, состав рисковой части оптимального портфеля определим как

Таким образом, оптимальный портфель состоит на 11% из безрисковых акций (сберегательный счет), 0.1% акций Т, 52.1 % акций / и 36,8% акций L, при этом его доходность Ец = 0.15 или 15%, а риск Оц - 0,436, или 43,6%.

Далее зададим на графике рис. 2.21 точку, соответствующую Е_р = 0,117 и О_р = 0,28. Если выбран портфель с требуемой доходностью Ец = 0,14, или 14%, то по формуле (2.4.5) найдем, что безрисковая доля портфеля составляет 0,179, или 17,9%, а рисковая - 0,821, или 82,1%. Производя расчеты как и в предыдущем примере, получим два оптимальных портфеля акций

Сравним между собою результаты составления оптимальных портфелей в этом параграфе. В и. 2.7.3 рассмотрено формирование портфеля из четырех акций Г, /. L, S и выводы вычислений представлены в виде табл. 2.8 и графика рис. 2.20. Оптимальный портфель составлялся, исходя из минимального риска при требуемой доходности, методом квадратичного программирования (метод Лагранжа).

Затем та же задача решалась методом линейного программирования (симплексным методом), исходя из максимальной прибыли при заданном риске. Результаты вычислений представлены в табл. 2.9 и они в значительной степени зависят от коэффициента «бета».

Если взять r_mj_n = 0,2436 в методе Лагранжа, то доходность портфеля Ец = 0,14, а если взят риск г = 0,2436 в симплексном методе, то в зависимости от коэффициентов «бета» максимальная доходность ?_тах равна 0,128, 0,132 и 0,144; для г_т;_п = 0.4615

имеем Еп = 0,18, а при допустимом риске г = 0.4615 максимальный доход равен 0.183, 0,205, 0,21. Эти сопоставления говорят об удовлетворительном совпадении оптимальных портфелей, составленных по методу Лагранжа и симплексному методу. Хотя, естественно, необходимы исследования на ЭВМ для различных видов портфелей.

Портфель из тех же самых акций составлялся и с применением ЦМРК (САРМ). Результаты также хорошо согласуются с двумя предыдущими методами, а доходность по ЦМРК оказывается выше на 3 - 12% при тех же уровнях риска.