Задача оптимизации портфеля

Теперь, понимая взаимосвязь между риском и доходом и влияние ковариации, мы можем сформулировать задачу оптимизации портфеля. Она заключается в том, чтобы определить, какая доля портфеля должна быть отведена для каждой из инвестиций так, чтобы величина ожидаемого дохода и уровень риска оптимально соответствовали целям инвесторов. Предположим, что последние состоят в минимизации риска портфеля, где риск измеряется дисперсией портфеля.

На практике инвестор обычно устанавливает ограничения относительно способа, по которому может быть построен портфель. Например, целевой функцией может быть минимизация риска, но при каком-то минимальном уровне дохода, а также при ограничениях на минимальные и максимальные доли, которые могут быть инвестированы в каждый актив. Как поступать с этими ограничениями - объясним позже.

Сейчас же проиллюстрируем портфельную задачу, рассмотрев оптимизацию при ограничениях для случая портфеля из трех активов.

Требования инвестора обычно ограничивают процесс выбора. Например, инвестор может потребовать минимизации риска при ожидаемом доходе не менее или равном данному уровню.

Портфельная задача, таким образом состоит в минимизации дисперсии портфеля при каком-то минимальном уровне дохода.

Из (2.7.4) видно, что дисперсия портфеля о~_п может быть выра-

—т

жена через произведение транспонированного вектора V, т.е. V , 148

дисперсионно-ковариационной матрицы Q и вектора V, т.е. V ? Следовательно, поставленная задача является задачей квадратического программирования и может быть записана следующим образом.

Минимизировать функцию при ограничениях

где Еп_Р(г) - это минимальный приемлемый уровень дохода.

Рассмотрим некоторый портфель акций, которые находятся на денежном счете и полностью оплачены, т.е. они куплены не за счет кредита. Отметим, что входные данные для нахождения эффективного портфеля это прибыли, которые мы ожидаем по данной акции, и дисперсия, которая ожидается от этих прибылей. Прибыли по акциям определяются как дивиденды, ожидаемые за определенный период времени, плюс повышение рыночной стоимости акций (или минус уменьшение) за этот же период, выраженные в процентах.

Предположим, что мы имеем три актива - 1, 2 и 3 с ожидаемыми доходами 0.14, 0,16, 0,10 соответственно. Известна дисперсионно-ковариационная матрицаQ

Нужно найти пропорции V,- для инвестирования в каждый актив, чтобы получить требуемый доход 13% при минимальной дисперсии.

Составляем дисперсию (целевую функцию)

Таким образом, наша задача формулируется следующим образом: минимизировать целевую функцию

при ограничениях

Если имеем задачу математического программирования: минимизировать функцию

при ограничениях

то функция Лагранжа имеет вид

Для нашего случая функция Лагранжа запишется как

Находим частные производные этой функции по V, V2, V3, Л, Л2 п приравниваем их к нулю

Исключаем F3 из 4-го и 5-го уравнений системы, найдем

Исключаем /| из 1-го и 3-го уравнений системы и исключаем Л из 2-го и 3-го уравнений системы, получаем:

Из этих двух уравнений исключаем переменную Л?, находим Подставляя сюда V3 = 1 - V - V2, имеем

Из системы

находим, что V - 0,307; V-± - 0,295 и, следовательно,

При этом определяем, что Л| = 0.000432 и А> = -0,000439.

Таким образом, минимальные риски (дисперсия) соответствуют портфелю, в котором имеются 30,7% активов 1-го вида, 29.5% активов 2-го вида и 39,8% активов 3-го вида.

Пакет линейного программирования позволяет быстро решать системы вида (2.7.15).

Проиллюстрируем портфельную задачу, рассмотрев оптимизацию при ограничениях для случая портфеля из четырех активов.

Рассмотрим четыре потенциальные инвестиции, три из которых - в акции, а одна - в сберегательный счет с процентной ставкой 8,5% в год. Отметим, что продолжительность периода инвестирования равна одному году (табл. 2.6 и рис. 2.19).

Таблица 2.6

Ожидаемая прибыль - это то же, что и потенциальная прибыль. а дисперсия (или стандартное отклонение) ожидаемых прибылей - то же. что и потенциальный риск. Отметим, что данная модель двумерная.

Есть и другие аспекты потенциального риска, такие как потенциальный риск (вероятность) катастрофического убытка, который

Рис. 2.19. Иллюстрация активов

мы не рассматриваем отдельно от дисперсии прибылей. Оптимальный портфель отвечает зависимостям (2.6.10) - (2.6.11) в классическом варианте. Марковиц также утверждал, что портфель, полученный из этой задачи, оптимален только в том случае, если полезность, т.е. «удовлетворение» инвестора, является лишь функцией ожидаемой прибыли и дисперсии ожидаемой прибыли. Марковиц указал, что инвестор может использовать и более высокие моменты распределения, а не только первые два Е(г) и г, например асимметрию и эксцесс ожидаемых прибылей.

Потенциальный риск - очень емкое понятие, он является функцией гораздо большего числа переменных и включает более высокие моменты распределений. Тем не менее мы будем определять потенциальный риск как дисперсию ожидаемых прибылей. Не следует, однако, полагать, что этим риск полностью определен.

Следующими параметрами, которые должен знать инвестор для использования данного метода, являются коэффициенты линейной корреляции прибылей. Эти параметры можно получить эмпирически, путем оценки или с помощью комбинации обоих подходов.

При определении коэффициентов корреляции важно использовать точки данных того же временного периода, который был использован для определения ожидаемых прибылей и дисперсий. Другими словами, если мы используем годовые данные для определения ожидаемых прибылей и дисперсии прибылей (т.е. ведем расчеты на годовой основе), следует использовать годовые данные и при определении коэффициентов корреляции. Если мы используем дневные данные для определения ожидаемых прибылей и дисперсии прибылей (т.е. ведем расчеты на дневной основе), тогда нам следует использовать дневные данные для определения коэффициентов корреляции.

Вернемся к нашим четырем инвестициям -T,I,L и к сберегательному счету (S). Ниже приведена табл. 2.7 их коэффициентов линейной корреляции.

Таблица 2.7

Используя метод и. 2.1. вычисляем дисперсионно-ковариационную матрицу Q. Отметим еще раз, что ковариация ценной бумаги самой к себе является дисперсией, так как коэффициент линейной корреляции ценной бумаги самой к себе равен 1.

Портфельная задача состоит в минимизации дисперсии портфеля при определенном минимальном уровне дохода. Из (2.7.4) видно, что дисперсия портфеля (7/_? может быть выражена через произведение транспонированного вектора V, т.е. дисперсионно-ковариационной матрицы Q и вектора V, т.е. V . Следовательно, поставленная задача является задачей квадратичного программирования и заключается в минимизации функции

Составляем целевую функцию (дисперсию)

Тогда задача формулируется следующим образом: минимизировать целевую функцию

при ограничениях

Здесь через Е обозначен требуемый доход.

Функцию Лагранжа зададим в виде

Находим частные производные этой функции по V, К₂, V3, V4, Л|, Л₂ и приравниваем их к нулю

Тогда проблема минимизации Z при данном Е для рассматриваемого портфеля может быть решена с помощью системы линейных алгебраических уравнений (2.7.20) с применением ЭВМ.

Так как порядок системы (2.7.20) небольшой, то решим ее в конечном виде.

Исключая V₄ из пятого и шестого уравнений системы, найдем:

Из первого и второго уравнений исключаем Л| и из второго и третьего исключаем Л|. получаем:

Из этих двух уравнений исключаем А>.

Из этого уравнения с помощью уравнения (а) исключаем Vy

Из первого и четвертого уравнений системы, второго и четвертого уравнений и третьего и четвертого уравнений исключаем Ль получаем три уравнения:

в которых из первого и второго, второго и третьего исключаем А>, находим

Из этих двух уравнений исключаем Ут,

Из этого уравнения и уравнения (Ь) находим, что

Подставляя решения (d) в уравнение (с), найдем

Из последнего уравнения системы (2.7.20), подставляя в нее выражения (d) и (е), найдем, что

Подставляя решения (d), (е) и (f) в (2.7.17), получим значение целевой функции (дисперсии, риска)

Таким образом, минимальный риск

при требуемом доходе Е будет отвечать оптимальному портфелю составленному из акций Т. L, /, S' соответственно в долях

Пусть ожидаемая отдача (доход) Е = 14. Тогда V - 0,1238, Vi = 0,127, = 0,384, V4 = 0,3652, дисперсия D_mj_n =

= °L = 0.05935, a a_min = r_min = 0,2436 = 24,36%.

Первые четыре значения, от V до V4, дают нам веса, т.е. доли инвестируемых средств, для получения оптимального портфеля с 14%-ой ожидаемой прибылью. Нам следует инвестировать 12,38% в Т, 12,7% в /. 38,4% в L и 36,52% в сберегательный счет.

Составим табл. 2.8, в которой приведем для различных значений Е веса акций в портфеле и соответствующий им риск.

Т а блица 2.8

Требуемая доходность Е - минимальный риск j-_n,j_n

Так как при Е = 0.18 значение V4 в формуле (2.7.23) будет отрицательным, то систему (2.7.20) нужно изменить, исключив четвертое уравнение и положив V4 = 0. Тогда решение новой системы имеет вид

При Е = 0,20 значение V < 0 и тогда систему (2.7.20) нужно изменить, исключив из нее четвертое и первое уравнения и положив V - V4 - 0. После этого решение новой системы имеет вид

На рис. 2.20 приведен график требуемой доходности от минимального риска Е(/'min), из которого видно, что при изменении риска от 0,25 и больше зависимость ?0'_mm) практически является линейной.

Рис. 2.20. Зависимость требуемой доходности от минимального риска