Оптимальный портфель, составленный из безрисковых и рискованных активов
Теперь рассмотрим комбинации риск-доходность, которые мы можем получить посредством объединения безрискового актива с рискованными активами 1 и 2, параметры которых остаются прежними, а безрисковая ставка доходности гд = 0.08.
На рис. 2.9 показано графическое представление всех возможных комбинаций риск-доходность. Кривая ApDHeсть кривая, изображенная на рис. 2.8, а прямая АН (рис. 2.9) представляет собой график, изображенный на рис. 2.7. Прямая показывает ряд комби-
Рис. 2.9. Оптимальная комбинация рисковых активов
L
наций риск-доходность, которые могут быть получены посредством объединения безрискового актива с рискованным активом.
Прямая линия, соединяющая точку А с любой точкой кривой, соединяющей точки Ар, D и Я, представляет собой график, описывающий соотношение риск-доходность для всех комбинаций следующих трех активов: рискованных активов 1 и 2 с безрисковыми активами. Наибольшее значение этого соотношения, которое мы можем достичь, находится на линии, соединяющей точки А и К. Точка К является общей точкой прямой линии, выходящей из точки А, и кривой и, кроме того, это точка касания прямой и кривой. Исходя из этих условий формула для определения долей портфеля в точке К имеет вид
Такой рискованный портфель, который соответствует точке К на рис. 2.9, называется оптимальной комбинацией рискованных активов. Именно объединением этого портфеля рискованных активов с безрисковым активом достигается формирование максимально эффективного портфеля.
Хотя и другие рискованные эффективные портфели из модели Марковица могут быть скомбинированы с безрисковым активом, портфель К заслуживает особого внимания. Почему? Потому что не существует портфеля, состоящего из рискованных ценных бумаг, который, будучи соединен прямой линией с точкой, соответствующей безрисковому активу, лежал бы левее и выше его. Другими словами, из всех линий, которые могут быть проведены из точки, соответствующей безрисковому активу, и соединяют эту точку с рискованным активом или рискованным портфелем, ни одна не имеет больший наклон, чем линия, идущая в точку К.
Это важно потому, что часть эффективного множества модели Марковица отсекается этой линией. В частности, портфели, которые принадлежали эффективному множеству в модели Марковица и располагались между минимально рискованным портфелем и портфелем К, с введением возможности инвестирования в безрисковые активы не являются эффективными. Теперь эф-
L
фективное множество состоит из прямого и искривленного отрезка. Прямой отрезок идет от безрискового актива в точку К и поэтому представляет портфели, составленные из различных комбинаций безрискового актива и портфеля К. Искривленный отрезок расположен выше и правее точки К и представляет портфели из эффективного множества модели Марковица.
Подставляя данные в формулу (2.4.8), получаем:
Это означает, что оптимальной комбинацией рискованных активов (для портфеля в точке касания с прямой, который еще называют тангенциальным портфелем), является 49% рискованного актива 1 и 51% рискованного актива 2. Ожидаемая ставка доходности и стандартное отклонение в точке К будут равны:
Тогда новый график для эффективного соотношения ?(/?) = /(а) будет иметь вид:
где угол наклона - отношение доходности к риску - равен 0,394. Для прежней прямой Е(г) = 0,08 + 0,30 • О угол наклона равен 0,30. Отсюда видно, что теперь инвестор находится в лучшем положении. потому что он может достичь более высокой ожидаемой ставки доходности для любого уровня риска, на который готов идти.
Теперь обобщим наши исследования относительно создания эффективного портфеля, когда имеются два вида рискованных активов и один безрисковой актив. Напомним, что предпочтения при формировании портфеля зависят от стадии жизненного цикла, на которой находится инвестор, периода (горизонта) планированное™ и отношения к риску. Следовательно, инвестор может выбрать позицию в любой точке на отрезке А К (рис. 2.9). На этом отрезке выбираем точку М, портфель, соответствующий этой точке, на 50% состоит из портфельных инвестиций в общей точке К (тангенциальный портфель) и на 50% из инвестиций в безрисковый актив.
Преобразуем уравнение (2.4.3) и (2.4.2) таким образом, чтобы они отражали тот факт, что портфель в точке касания К является теперь единственным рискованным активом, который следует объединить с безрисковым активом. Находим
Учитывая, что тангенциальный портфель состоит на 49% из рискованного актива 1 и на 51%- из рискованного актива 2, и на долю рискованных активов приходится 50% всего портфеля, определяем, что в портфеле будет 0,5 • 49% = 24,5% рискованных активов 2. Таким образом, состав портфеля М будет следующим: доля безрискового актива составляет 50%, доля рискованного актива 1 - 24,5% и доля рискованного актива 2 - 25,5%.
Следовательно, если вы инвестировали 10 000 у.е. в портфель М. то 5000 у.е. инвестировано в безрисковый актив. 2450 у.е. - в рискованный актив 1 и 2550 у.е. - в рискованный актив 2.
Таким образом, существует только один портфель с рискованными активами, который оптимальным образом можно объединить с безрисковым активом. Этот портфель мы назовем оптимальной комбинацией рискованных активов, соответствующий общей (касательной) точке К. Следовательно, предпочтительный портфель всегда является комбинацией портфеля рискованных активов в общей точке и безрискового актива.
Важно отметить, что при поиске оптимальной комбинации рискованных активов нам не нужно ничего знать ни о благосостоянии инвестора, ни о его предпочтениях. Состав этого портфеля зависит только от ожидаемых ставок доходности и стандартных отклонений рискованного актива 1 и рискованного актива 2 и от корреляции между ними. Это означает, что все инвесторы, которые согласились на такие характеристики доходности (среднее значение, стандартное отклонение, корреляция), захотят инвестировать в один и тот же тангенциальный портфель, дополненный безрисковым активом. Вот общее правило, применимое ко всем случаям, когда имеется множество рискованных активов. Всегда существует оптимальный портфель рискованных активов, который все инвесторы, избегающие риска и имеющие одинаковые представления о характеристиках доходности, будут объединять с безрисковым активом с целью получения наиболее предпочтительного портфеля.
При наличии большого числа рискованных активов мы используем двухэтапный метод создания портфеля, аналогичный тому, который был рассмотрен в предыдущем разделе. На первом этапе мы рассматриваем портфели, состоящие только из рискованных активов, а на втором этапе мы определяем тангенциальный портфель рискованных активов, который можно объединить с безрисковым активом. Такая работа требует большого количества вычислений, поэтому лучше выполнять ее на компьютере.
