ПОРТФЕЛЬ МАРКОВИЦА

В 1952 году, когда Марковиц в «Формировании портфеля» [60] поставил задачу использовать понятие риска при конструировании портфелей для инвесторов, суждения о качестве акций сводились к тому, сколько инвестор выиграл или проиграл. О риске просто не говорили.

Марковиц использует термин «эффективный» для характеристики портфеля, составленного из лучших по данной цене акций с минимальной изменчивостью доходности. Можно было бы говорить в данном случае об оптимизации. Важно понять, что не существует единственного эффективного портфеля, который был бы эффективнее всех остальных. Чем выше ожидаемый доход, тем больше риск. Но каждый из эффективных портфелей обеспечивает максимальный ожидаемый доход для заданного уровня риска или минимальный уровень риска для заданного ожидаемого дохода.

Наиболее сложной процедурой в ходе реализации модели Марковица является накопление вычислений, необходимых для оценки того, как курсы разных акций или облигаций меняются по отношению к курсам других акций или облигаций.

Найдем доли Л',- распределения исходного капитала, минимизирующие вариацию эффективности портфеля

при условии, что обеспечивается заданное значение эффективности портфеля Е_п, то есть

и выполняется бюджетный баланс

В такой постановке минимизация вариации равносильна минимизации риска портфеля, поэтому задача Марковица может быть сформулирована следующим образом.

Найти Xj минимизирующие риск портфеля:

при условии, что обеспечивается заданное значение эффективности портфеля Ej7, т.е. Е_п =у X_jE_i, и поскольку X - доли, то в сумме они должны составлять единицу: ^ X, =1 •

Решение этой задачи обозначим значком*. Если х* >0, то это означает рекомендацию вложить долю х* наличного капитала в ценные бумаги /-го вида. Если же x_i <0 , то содержательно это означает провести операцию «short sale» («короткая продажа»). Если такие операции невозможны, значит необходимо ввести ограничения х* >{).

Что это за операция? Инвестор, формирующий портфель, обязуется через какое-то время поставить ценные бумаги /-го вида (вместе с доходом, какой они принесли бы их владельцу за это время). За это сейчас он получает их денежный эквивалент. Эти деньги он присоединяет к своему капиталу и покупает рекомендуемые оптимальным решением ценные бумаги. Так как ценные бумаги других видов (т.е. не /-го вида) более эффективны, то инвестор оказывается в выигрыше! Собственно, можно обойтись и без операции «short sale», если инвестору доступны займы денежных средств по безрисковой ставке.

Этот портфель минимального риска из всех портфелей заданной эффективности называется портфелем Марковица минимального риска.

Но столь же естественна и задача формирования портфеля максимальной эффективности из всех портфелей, имеющих риск не более заданного.

Найти X/, максимизирующие ожидаемую эффективность портфеля

при условии, что обеспечивается заданное значение риска портфеля. т.е. ^ XjXjOjj =rjj; поскольку х, - доли, то в сумме они

**7 ——

должны составлять единицу: у х,- =1 •

/

Назовем данную формализацию портфелем Марковица максимальной эффективности.

Решая задачу Марковица (2.3.1) - (2.3.3) для различных значений Е_р, получим множество точек . В плоскости портфельных характеристик Е_р, найденным эффективным точкам будет соответствовать соединяющая их кривая, называемая траекторией эффективных портфелей (рис. 2.3).

Рис. 2.3. Зависимость минимального риска от ожидаемой эффективности портфеля

Во-первых, множество эффективных портфелей составляет подмножество множества допустимых портфелей и. во-вторых, на эффективной траектории допустимые портфели являются одновременно и эффективными в том смысле, что они дают минимальный риск при фиксированной ожидаемой доходности или максимальную ожидаемую доходность при данном риске.

Согласно сформулированным выше принципам теории Марковица, инвестор всегда выбирает портфель, лежащий на эффективной границе. Этот выбор осуществляется посредством анализа соотношения риска и доходности (постоянного «взвешивания»), Двигаясь вдоль границы слева направо, мы увеличиваем ожидаемый риск, но при этом расширяются и границы доходности. В связи с этим возникает следующий вопрос: какой же портфель лучше? Лучший из всех портфелей на эффективной границе Марковица называется оптимальным.

Интуитивно понятно, что оптимальный портфель зависит от предпочтений инвестора при выборе между риском и доходностью. Как уже говорилось в начале главы, эти предпочтения можно описать при помощи функции полезности.

На рис. 2.4 изображены три кривые безразличия и эффективная граница. В нашем случае кривая безразличия определяет комбинации риска и ожидаемой доходности, дающие одинаковый уровень полезности. И чем дальше расположена кривая от горизонтальной оси, тем больше полезность.

Также из рис. 2.4 видно, какой портфель при данных кривых безразличия будет для инвестора оптимальным. Следует помнить,

Рис. 2.4. Выбор оптимального портфеля

что инвестор стремится к самой высокой кривой безразличия, какую можно достичь на эффективной границе. При этих требованиях оптимальный портфель представлен точкой пересечения кривой безразличия с эффективной границей. На рис. 2.4 это портфель А.

Портфель А максимизирует полезность для определенных характером кривой безразличия предпочтений риска и доходности инвестора, а также его ожиданий по поводу доходности и ковариации. Если его предпочтения относительно ожидаемого риска и доходности изменятся, изменится и оптимальный портфель. Например, на рис. 2.5 изображена та же эффективная граница, но другие кривые безразличия. В этом случае оптимальным будет портфель В с более низкими доходностью и риском, чем портфель А на рис. 2.4.

При этом может возникнуть вопрос о том, как определить функцию полезности инвестора, чтобы построить его кривую безразличия? К сожалению, ответить на него непросто. Дело в том, что экономисты еще не пришли к единому мнению о том, как измерять полезность.

Рис.2.5. Выбор оптимального портфеля при других кривых безразличия

Это, однако, не означает, что теория бесполезна. А говорит лишь о том, что, описав эффективную границу, инвестор должен определить, какой эффективный портфель ему подходит в наибольшей степени.

В параграфе 2.2 мы рассматривали вопрос о влиянии диверсификации вклада на снижение риска и получили формулу (2.2.9), которая показывает, что при росте числа п видов ценных бумаг, включаемых в портфель, риск эффективного портфеля ограничен и стремится к нулю при п -* °о.

Отсюда вытекает главное практическое правило финансового рынка: для повышения надежности эффекта от вклада в рискованные ценные бумаги целесообразно делать вложения не в один их вид, а составлять портфель, содержащий возможно большее разнообразие ценных бумаг, эффект от которых случаен.

Анализ, проведенный экономистами США, показал, что значительную часть диверсифицируемого риска можно устранить, включая в портфель около 20 видов ценных бумаг, и дальнейшее увеличение числа видов таких активов в портфеле ведет к существенному падению темпа уменьшения риска. Кривая риска индивидуального портфеля Оц при увеличении числа активов асимптотически приближается к уровню риска рыночного портфеля

*

Оц (рис. 2.6).

Рис. 2.6. Зависимость риска портфеля от числа рисковых активов

Из описания теории Марковица можно сделать вывод, что она дает принципы построения эффективных портфелей и способы выбора из них наилучшего, или оптимального, портфеля. Эта теория отличается от предыдущих тем, что в ней сформулированы принципы измерения основных параметров теории. К ним относятся риск и ожидаемая доходность как отдельных активов, так и всего портфеля в целом. Более того, при помощи этих величин. а также ковариации и корреляции между доходностями активов можно осуществить диверсификацию портфеля, цель которой состоит в уменьшении его риска без ущерба для доходности. Определение и точный смысл этих параметров основываются на теоретико-вероятностных понятиях, а их количественная оценка осуществляется статистическими методами.

Ожидаемая доходность портфеля - это взвешенное среднее ожидаемых доходностей всех активов, входящих в портфель. Вес каждого актива определяется как процентная доля рыночной стоимости актива в общей рыночной стоимости всего портфеля. Риск актива измеряется при помощи вариации или стандартного отклонения его доходности. В отличие от ожидаемой доходности портфеля его риск не равен взвешенному стандартному отклонению рисков отдельных активов, входящих в портфель. Риск портфеля зависит от ковариации и корреляции между активами. Чем ниже корреляция, тем меньше риск портфеля.

Эффективный портфель по Марковицу - это допустимый портфель с наибольшей ожидаемой доходностью для заданного уровня риска. Набор всех эффективных портфелей называется эффективным множеством портфелей, или эффективной границей.

Оптимальным портфелем называется такой портфель, который в наибольшей степени удовлетворяет предпочтениям инвестора по отношению к доходности и риску. Предпочтения инвестора описываются функцией полезности, которая графически представляется при помощи набора кривых безразличия. Оптимальный портфель - это такой портфель, для которого кривая безразличия касается эффективной границы.