5.4. Колебательный спектр двухатомной одномерной цепочки. Акустическая и оптическая ветви колебаний

Рассмотрим продольные колебания атомов одномерной решетки с базисом, когда на одномерную элементарную ячейку Бравэ с периодом 2а приходится два атома разных сортов, массы которых обозначим М и М2 (рис. 5.8). Силы, действующие между парами различных атомов, одинаковы [59]. Пусть вдоль прямой линии располагается N ячеек. Система обладает 2N степенями свободы.

Обозначим 2п четное положение равновесия атомов с массой М, а 27?,+ 1 — нечетное для атомов с массой М2.

Пусть «2п — смещение атомов с массой Mi вдоль направления х в момент времени t относительно его положения равновесия. Соответственно и2п+-2 — смещение атома с массой М2 из его положения равновесия. Пусть (вновь, как и для

Рис. 5.7. Волна, изображенная сплошной линией, содержит ту же информацию, что и волна, изображенная пунктиром [59]

Двухатомная линейная цепочка

Рис. 5.8. Двухатомная линейная цепочка

моноатомной цепи) смещения малы относительно межатомного расстояния а, а силы взаимодействия квазиупругие. Будем учитывать взаимодействие только соседних атомов. Тогда на выбранные атомы будут действовать силы

Воспользуемся вторым законом Ньютона для записи уравнения движения атомов обоих типов:

Учтем, что колебания атомов разных масс могут происходить с разными амплитудами — щ и и-2? Решение системы уравнений (5.35) будем искать в виде плоских монохроматических волн, как и в случае одномерной цепочки:

Подставим эти решения в уравнения (5.35) и сократим общий множитель ехр (* (2пкаcot)) в каждом из уравнений. Получим систему уравненийЗ относительно амплитуд смещений и и и-> :

Ненулевым значениям амплитуд щ и щ соответствует обращение в нуль определителя из коэффициентов системы уравнений (5.37):

и

Отсюда получим уравнение, связывающее частоту колебаний ш и волновое число к:

Корни этого биквадратного уравнения

Частота колебаний о,’ не может быть отрицательной величиной, пттому далее рассматриваются только положительные значения. Из формулы (5.41) следует, что каждому волновому числу к соответствуют два значения частоты и>, а значит, две различные ветви спектра частот со+(к) и Ш-(к) (моды колебаний), причем как частоты ац_, так и частоты не зависят от номера атома в цепочке п. Итак, эти частоты являются частотами собственных колебаний любого из атомов цепочки.

Уравнение (5.41) также можно записать как

Рассмотрим поведение ветвей частот и>+ и в зависимости от волнового числа к.

При малых волновых числах к (вблизи центра зоны Бриллюэна), т. е. когда ка 1. справедливо приближенное равенство sin2 ко « (ка)2. Подставляя этот результат в уравнение (5.41), получим

При & —> 0 для ветви частот и>+ получим

поскольку в этом случае вторым слагаемым под корнем в уравнении (5.42) можно пренебречь.

Рассмотрим ветвь колебаний о,'_. В этом случае вторым слагаемым под корнем в уравнении (5.42) пренебречь нельзя. Обозначим = х и раз

ложим /1 — х в ряд, ограничиваясь двумя первыми слагаемыми разложения:

Тогда в силу малости членов более высокого порядка по х получим для выражение:

Таким образом, при малых значениях волнового числа частоты колебаний оо+ и со- записываются в виде:

Если принять, что массы колеблющихся атомов одинаковы (Мх = М2), то в этом случае выражение совпадает с частотой колебаний цепочки из одинаковых атомов. Значение скорости звука для этой ветви

Наряду с ui- в одномерной цепочке атомов двух сортов, в отличие от одномерной моноатомной цепочки, присутствует дополнительная <п+-ветвь колебаний. При малых значениях волнового числа к частоты колебаний определяются величиной коэффициента квазиупругой силы /3 и приведенной массой атомов

«епочки (тТГГПт) = (лтг + ж) •

Чтобы выяснить физический смысл о,’+(/г)-ветви, сопоставим значения амплитуд колебаний ветвей и при малых значениях волнового числа к. Подставим формулу (5.45) для сл+ в (5.37):

и найдем отношение амплитуд смещений атомов разного сорта:

Из уравнения (5.47) следует, что при малых волновых числах к амплитуды смещений для моды ш+ обратно пропорциональны массам атомов, а знак «—» показывает, что соседние атомы (т. е. атомы разного сорта) колеблются в противофазе (рис. 5.9).

При малых значениях волнового числа к атомы разного сорта колеблются в противофазе

Рис. 5.9. При малых значениях волнового числа к атомы разного сорта колеблются в противофазе

Центр масс системы имеет амплитуду смещений = 0 (т.к. из фор

мулы (5.47) следует, что MU = —М-2щ). Следовательно, центр масс системы при колебаниях с частотами остается фиксированным. Подобные колебания могут быть, например, возбуждены в ионных кристаллах электрическим паяем световой волны. Поэтому <п+-ветвь колебаний получила название оптической.

Подстановка из (5.45) в (5.37) приводит к выражению

и отношение амплитуд смещений атомов разного сорта в этом случае имеет вид

Вблизи центра зоны Бриллюэна (при к —> 0) знаменатель в правой части выражения (5.48) стремится к единице и отношение амплитуд также становится равным единице:

Равенство (5.49) показывает, что в данном случае колебания происходят в фазе и имеют приблизительно одинаковые амплитуды. Это характерно для акустической полны, что и было причиной названия ветви колебаний акустической ветвью.

Таким образом, характер колебаний атомов в двухатомной одномерной цепочке оказывается значительно более сложным, чем в моноатомной.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ ОРИГИНАЛ   След >