5.3.1. Зоны Бриллюэна

Из формулы (5.23) следует, что частота ш является периодической функцией волнового числа к, причем область периодичности заключена в пределах —71 /а ^ к ^ тг/а. sin(±/co/2) = 1 принимает значения 0 или 1 при ±ка/2 = тг/2 (п = ±1, ±2, ±3...). Поскольку п — целое число, то разрешены не все значения волновых чисел к. Таким образом, в цепочке из N атомов могут распространяться колебания не с любыми значениями длины волны, следовательно, имеется дискретный набор вмн, соответствующий разрешенным значениям волнового вектора к. Найти этот набор можно, если задать циклические граничные условия (граничные условия Борна - Кармана), которые позволяют рассматривать процесс распространения упругих волн без учета эффектов отражения на границах кристалла.

Дисперсионная кривая для линейной цепочки одинаковых атомов [78]

Рис. 5.5. Дисперсионная кривая для линейной цепочки одинаковых атомов [78]

Ясно, что силы, действующие на атомы в середине моноатомной цепочки, отличаются от сил, действующих на ее концах, это приводит к тому, что положения равновесия на концах цепочки нарушаются. Неэквивалентность в положении атома внутри цепочки и на ее границах исчезает, если соединить противоположные концы цепочки в кольцо. В этом случае смещение п-го атома будет эквивалентно смещению п + Лг-го (паяный обход цепочки). Эту эквивалентность можно про- должать до бесконечности. Для цепочки из N атомов циклические граничные условия записываются в виде

exp (ikNa) = 1, следовательно, cos(kNa) = 1. Отсюда следует, что равенство (5.27) выполняется при условии, что k:Na = 0,2тг,4-7г,... ,2жп, где п — целое число.

Таким образом, к = 4~г ' п = =?? • п, где L — длина цепочки. Следовательно, волновые числа меняются дискретно с шагом 2тг/L. или квантуются.

Определив nmax из условия ±тг = 2тг/На ? nmax, видим, что область изменения значений п лежит в пределах — N/2 ^ п ^ N/2. т1исло нее разрешенных значений длин волн (гг) равно полному числу атомов в цепочке. Набор волновых чисел к„ определяет полный набор мод нормальных колебаний, распространяющихся в рассматриваемой цепочке. Каждому волновому числу соответствует определенная частота и)/..

Для получения полного набора частот достаточно рассмотреть область значений волновых чисел к от нуля до ж/а. Полученные значения частот и>, лежащие в пределах от нуля до cjmax, образуют квазинепрерывпый частотный спектр колебаний одномерной цепочки атомов.

Следовательно, колебательное движение частиц одномерной моноатомной цепочки может быть описано значениями частот ш и волновых чисел к, находящимися в области —тг/а ^ к ^ -к/а, которую называют первой зоной Бримюэна, а предельные значения /,-гпахграницей зоны. Внутри зоны Б рил полна сосредоточены все физически реальные значения частот и волновых чисел.

Максимальное значение длины волны Лтах, распространяющейся в цепочке, можно найти из разности между соседними значениями волновых чисел к:

Таким образом, все возможные значения длины волны лежат в пределах от Amin = 2а до Amax = Na.

Подводя итог вьппесказанному, можно констатировать, что зависимость частоты oj колебаний от волнового числа к для дискретной цепочки атомов является нелинейной и периодической, причем границе зоны Бриллюэна соответствуют предельные значения частоты. Если учесть, что частоты волн пропорциональны их энергии, то из существования области разрешенных частот следует существование областей разрешенных энергий волн.

Рассмотрим вопрос о скоростях распространения волны: фазовой, определяющей скорость смещения фазы, и групповой, определяющей перенос вещества (энергии).

Фазовая скорость определяется соотношением

где Т — период колебаний.

Рассмотрим случай малых значений волнового числа —> 0), или больших

длин волн

где v — скорость распространения акустической волны в однородной упругой среде (струне). Уравнение (5.30) показывает, что при уменьшении волнового числа к фазовая скорость стремится к постоянной величине, равной скорости распространения звука в упругой однородной среде.

На границе зоны Бриллюэна при значении волнового числа к = тт/а

Таким образом, в пределах изменения волнового числа к от 0 до тг фазовая скорость убывает от a Jft jm до —a J/З/m. т. е. изменяется незначительно.

Теперь перейдем к рассмотрению групповой скорости распространения волны, которая определяется равенством

Учитывая зависимость частоты колебаний от волнового вектора (5.23), получим

Вновь рассмотрим предельные случаи. При малых значениях волновых чисел к —> 0) получим аналогичную фазовой скорости зависимость = а Jfijrn = = уф = v, т. е. при малых значениях волновых чисел фазовая и групповая скорости волн, распространяющихся в одномерной моноатомной цепочке атомов, одинаковы и равны скорости звука.

Зависимости фазовой и групповой скоростей от ват нового числа [57]

Рис. 5.6. Зависимости фазовой и групповой скоростей от ват нового числа [57]

Совершенно иначе, нежели фазовая скорость, ведет себя групповая скорость при приближении к границе зоны Бриллюэна. При к —> ж/a групповая скорость стремится к нулю и на самой границе vt, = 0. Следовательно, при малых к значения фазовой и групповой скоростей совпадают и равны скорости распространения акустической волны V. На границе зоны Брилл юз на групповая скорость обращается в нуль (рис. 5.6), переноса вещества нет, что соответствует возникновению стоячей волны, когда соседние атомы движутся в противофазе.

Из формулы (5.23) следует, что зависимость частоты от волнового вектора есть функция периодическая с периодом 2ж/а. Можно показать, что в пределах первой зоны Бриллюэна заключены не только все возможные значения частот и> волн, распространяющихся в решетке, но и то, что смещения атомов при распространении волны всегда можно описать с помощью значений волновых векторов, заключенных в пределах первой зоны.

Пусть к' — волновой вектор, лежащий вне первой зоны Бриллюэна. Тогда в этой зоне ему будет соответствовать вектор к' = к + уу-n', где п' — целое число, показывающее, на сколько периодов к1 удален от к. Рассмотрим смещение двух соседних атомов цепочки под действием волны с волновым вектором к':

т. к. ехр(г2тгп') = cos(2-7rn') + isin (2 ля') = 1. Аналогично

Полученное выражение для смещения n-го атома под действием упругой волны с волновым числом к' совпадает с уравнением (5.19), полученным для смещения n-го атома под действием волны с волновым числом к. Таким образом, смещения атомов всегда можно описать с помощью значений к. лежащих в пределах первой зоны Бриллюэна.

В качестве доказательства приведенного утверждения рассмотрим пример (рис. 5.7).

Пусть к = тг/2а; к' = тг/2а+2тг/а = 5тг/2а при п' = 1. Вектору к соответствует длина волны Л*. = 2тг/Л: = 2тг/7г • (2а) = 4а. Для вектора к' длина волны Л*./ = = 2тг jk' = 27г/57г/2 а = 4а/5.

Таким образом, волна с длиной, равной 4а, содержит ту же информацию о смещениях, что и волна с длиной, равной 4а/5. Об этом же фактически свидетельствует и существование Л|п;п-волны. при распространении которой соседние атомы колеблются в противофазе и с одинаковыми амплитудами. Итак, область значений от —тг/а до тг/а включает в себя все независимые значения ехр(«/га).

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ ОРИГИНАЛ   След >