1.10.1. Структура квазикристаллов

Важную проблему физики квазикристаллов представляет их атомная структура. Ее можно понять с помощью математической теории замощения. Замощение — это покрытие всей плоскости или заполнение всего пространства неперекры- вающимися фигурами. Обычный кристалл представляет собой периодическую структуру из атомов или молекул. Любой кристаллической структуре присуща определенная симметрия. Кристаллы обладают дальним порядком двух типов — ориентационным и трансляционным. Трансляционный порядок, как было показано выше, означает возможность построить кристаллическую структуру путем трансляций элементарного строительного блока структуры с определенным расположением атомов на некоторый вектор элементарной ячейки кристалла. В таком случае говорят о существовании дальнего порядка в кристалле. Ориентационный порядок означает, что поворот кристалла вокруг определенной оси совмещает атомные позиции с самими собой. Кристаллы могут иметь вращательную симметрию третьего, четвертого или шестого порядка. Структура элементарной ячейки большинства кристаллов основана на таких простых геометрических телах, как куб, тетраэдр и октаэдр.

Правильный двадцатигранник — икосаэдр

Рис. 1.41. Правильный двадцатигранник — икосаэдр

Структура квазикристаллов, таких как сплав алюминия с марганцем, основана на другом геометрическом теле — икосаэдре. Икосаэдр — это многогранник, имеющий 20 граней, каждая из которых представляет собой равносторонний треугольник, 12 вершин и 30 ребер (рис. 1.41).

Икосаэдр имеет симметрию пятого порядка: в каждой его вершине соединены пять граней. Геометрия икосаэдра занимает важное место во многих областях математического анализа, таких как проблема решения уравнений пятой степени, теория групп [119], теория хаоса [120]. Икосаэдры невозможно упаковать так, чтобы они плотно, без зазоров, заполняли все пространство, поэтому они не могут служить элементарными ячейками кристаллов.

Хорошим аналогом двумерного квазикристалла может служить паркет (мозаика). Трехмерное пространство кристалла заполняется элементарными ячейками так же, как в паркете двумерное пространство заполняется плитками. Периодической мозаикой или разбиением плоскости называется такая мозаика, в которой можно выделить область, заполняющую без пробелов и наложений всю плоскость при трансляциях и параллельных переносах, т. е. при сдвигах области без поворотов или отражений. Существует множество фигур, например параллелограммов, правильных шестиугольников и др., из которых можно сложить периодическую мозаику. Существует также множество и других фигур, из которых можно сложить и периодические и непериодические мозаики. Среди них особый интерес представляют квазипериодические замощения пространства двумя структурными единицами. Рассмотрение подобного замощения удобно начать с одномерного квазикристалла (цепочки атомов). В одномерном случае удобной моделью замощения является цепочка, состоящая из короткого S и длинного L отрезков, порядок укладки которых вдаль цепочки описывается последовательностью чисел Фибоначчи . Числовая последовательность Фибоначчи определяется рекурсив-

Периодические приближения одномерного квазикристалла

Рис. 1.42. Периодические приближения одномерного квазикристалла. Период структур выделен жирной линией. По мере увеличения порядка приближения (от /о к /л) структура все более точно описывает квазипериодическую цепочку Фибоначчи

ной формулой

т.е. каждое последующее число в числовом ряду Фибоначчи равно сумме двух предыдущих. Хорошо известно, что в пределе

где т, называемое золотым сечением, — число иррациональное. Взяв два отрезка S и L и укладывая их вдоль прямой так, как показано на рис. 1.42, получим одномерную квазипериодическую последовательность Фибоначчи.

Жирной линией на рис. 1.42 выделена элементарная ячейка одномерной структуры. Цепочки со все большим и большим периодом последовательно генерируются заменой S —*> L и L —* LS. По мере увеличения в мотиве отношения числа длинных отрезков к числу коротких период рассматриваемой одномерной структуры возрастает и стремится к бесконечности (табл. 1.5). Так получается одномерный квазикристалл. Интересно, что ту же самую одномерную квазипериодическую структуру можно получить и другим способом, проецируя позиции атомов из двумерной периодической структуры на определенным образом ориентированную ось (рис. 1.43) так, чтобы tg# = т-1, где в — угол между данной осью и осью абсцисс.

Таблица 1.5. Эволюция решетки Фибоначчи

Период решетки

1

2

3

5

8

13

21

оо

Число отрезков L Число отрезков S

-

  • 1
  • 1
  • 2
  • 1
  • 3
  • 2
  • 5
  • 3
  • 8
  • 5
  • 13
  • 8

1,618...

На ось жц проецируются только точки, лежащие между двумя штриховыми линиями. Чтобы вдоль оси х получилась последовательность Фибоначчи коротких S и длинных L отрезков, нужно определенным образом выбрать размер области между штриховыми линиями (вдоль оси х±) и наклон оси .Гц относительно двумерной решетки.

Одномерный квазикристалл, полученный проекцией двумерной периодической решетки

Рис. 1.43. Одномерный квазикристалл, полученный проекцией двумерной периодической решетки

В двумерном случае удобной моделью квазикристалла является паркет Пенроуза (рис. 1.44, о), разработанный еще до открытия квазикристаллов [117-121]. В мозаике Пенроуза требуются только две фигуры, чтобы замостить всю плоскость без пустот и пересечения фигур: это два ромба. Внутренние углы одного ромба равны соответственно 36° и 144° («тонкий» ромб), а другого — 72° и 108° («толстый» ромб) (рис. 1.44, б). В бесконечной мозаике Пенроуза отношение числа «толстых» ромбов к числу «тонких» точно равно величине золотого сечения (1,618. • •), и, поскольку это число иррациональное, в такой мозаике нельзя выделить элементарную ячейку, которая содержала бы целое число ромбов каждого типа.

Паркет Пенроуза не является периодическим замощением, так как не переходит в себя ни при каких сдвигах. Однако в нем существует определенный порядок, так как любая конечная часть этого замощения встречается во всем замощении бесчисленное множество раз. На рис. 1.44 видно, что это замощение обладает осью пятого порядка, т. е. переходит в себя при повороте на угол 72° вокруг некоторой точки.

Трехмерное обобщение паркета Пенроуза. необходимое для реальных материалов и составленное из двух: («острого» и «тупого») ромбоэдров (рис. 1.45, а), называется сетью Аммана - Маккея . Так же как и в двумерном случае, ромбоэдры не имеют общих внутренних точек и между ними нет промежутков. Заполнение пространства этими ромбоэдрами связано с симметрией икосаэдра и образует модель регулярного квазикристалла.

Наиболее широкое распространение в проблеме построения моделей кваэи- кристаллических структур получил проекционный метод. Уже говорилось о его

Квазипериодический паркет Пенроуза (а) и ромбы, из которых он состоит (б)

Рис. 1.44. Квазипериодический паркет Пенроуза (а) и ромбы, из которых он состоит (б)

применении для построения модели одномерного квазикристалла с использованием двумерной периодической структуры. Для построения модели трехмерного икосаэдрического квазикристалла используется целочисленная периодическая структура — решетка в гипотетическом шестимерном пространстве, и трехмерное подпространство, ориентированное иррациональным образом к шестимерной решетке. Узлы решетки, близкие к подпространству, проецируются в него, и эта проекция представляет собой модель регулярного квазикристалла. Для получения атомной структуры конкретного сплава полученную модель декорируют атомами различного сорта (см. рис. 1.45, б).

Острый и тупой ромбоэдры, составляющие сеть Аммана —Маккея (а) декорированные атомами ромбо- эдры (б)

Рис. 1.45. Острый и тупой ромбоэдры, составляющие сеть Аммана —Маккея (а) декорированные атомами ромбо- эдры (б)

Конструкции такого типа хорошо объясняют четкость дифракционных картин от квазикристаллов, но обладают существенным недостатком: с самого начала постулируется существование дальнего порядка и не объясняется, как он возникает из ближнего упорядочения атомов. В то же время при росте кристалла из расплава атомы присоединяются к уже образовавшемуся зародышу по некоторым законам, имеющим локальный характер. Можно сказать, что присоединяющиеся к поверхности зародыша атомы ничего «не знают» о том, что структура растет в некотором иррациональном направлении, в гипотетическом многомерном пространстве. Атомы «знают» (в силу природы межатомного взаимодействия) лишь, какие локальные конфигурации можно образовывать, а какие нельзя. Оказывается, для трехмерного икосаэдрического квазикристалла существуют такие локальные правила, следуя которым можно образовать сеть Аммана - Маккея или в двумерном случае — паркет Пенроуза. При отказе от каких-либо локальных правил мы приходим к модели квазикристалла, который может быть получен путем случайной укладки многогранников с заданной симметрией.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ ОРИГИНАЛ   След >