1.3. Симметрия кристаллов

При описании структуры кристалла необходимо определить сингонию кристалла, т. е. выбрать кристаллографическую систему координат и элементарную ячейку, определить базис элементарной ячейки и набор операций симметрии, при помощи которых будет осуществляться перенос кристаллической структуры параллельно самой себе.

К операциям (или преобразованиям) симметрии относятся:

  • 1. Трансляционныепреобразования, определяемые вектором R = тпа + пЬ + р~с .
  • 2. Операции вращения и отражения, приводящие к совмещению решетки с самой собой. Их называют точечными операциями или группами симметрии.
  • 3. Сложные симметрические преобразования, состоящие из комбинации первых двух операций, образуют пространственные группы симметрии.

1.3.1. Точечные операции симметрии

Воображаемые точки, линии и плоскости, с помощью которых осуществляются упомянутые операции вращения и отражения, называются элементами симметрии. В кристаллографии для обозначения операций симметрии и соответствующих им элементов симметрии служат специальные символы. Наиболее распространенными го них являются международные символы, принятые Интернациональным союзом кристаллографов, и символика, основанная на формулах симметрии [27]. Перечислим элементы и связанные с ними операции симметрии.

Центр симметрии {центр инверсии) — это некая воображаемая точка внутри кристаллической решетки, характеризующаяся тем, что любая прямая, проведенная через нее, встречает идентичные друг другу узлы решетки на равных расстояниях от центра. Симметричное преобразование в центре симметрии — это зеркальное отражение кристаллической решетки в точке. Обозначается центр симметрии буквой С.

Поворотные оси симметрии представляют собой прямые линии, при повороте вокруг которых на некоторый определенный угол кристаллическая решетка совмещается сама с собой. По формуле симметрии поворотные оси обозначают буквами Ln, где п — порядок оси, который может принимать значения только 1; 2; 3; 4; б. Порядок оси симметрии п показывает, сколько раз решетка совместится сама с собой при полном повороте вокруг этой оси. Таким образом, поворотные оси определяют вращение вокруг них на углы 2-7Г (первый порядок), 2тг/2 (второй порядок), 2тг/3 (третий порядок), 27г/4 (четвертый порядок), 2тг/6 (шестой порядок), которое приводит к совмещению решетки с самой собой. Геометрические обозначения поворотных осей различных порядков приведены в табл. 1.3. Следует особо отметить, что в кристаллах невозможны оси симметрии 5-го порядка и порядка, большего чем б. Это ограничение связано с тем, что в кристаллическом состоянии вещество представляет собой систему материальных частиц, симметрично повторяющихся в пространстве. Такие симметричные ряды, непрерывно заполняющие пространство, несовместимы с осями 5-го, 7-го и других порядков. Доказательство этого утверждения можно обнаружить в любом учебнике по кристаллографии.

Плоскости зеркального отражения делят фигуру на две части, расположенные друг относительно друга как предмет и его зеркальное отражение.

В интернациональной системе плоскость зеркального отражения принято обозначать символом т или Р по формуле симметрии.

Совокупностью Р, С, Ь-2, ЬЛ. Ь. Ьв (табл. 1.3) исчерпываются все возможные точечные операции симметрии первого рода.

Таблица 1.3. Элементы симметрии и их обозначения

Название

Обозначение

Изображение по отношению к плоскости чертежа

международн. сим вол

по формуле симметрии

перпендику

лярное

параллельное

Плоскость

симметрии

Центр

симметрии

Поворотные

оси

симметрии

двойная

тройная

четверная

шестерная

Инверсионная

ось

симметрии

тройная

четверная

шестерная

Точечные операции симметрии второго рода представляют собой совместное действие двух операций симметрии: вращение и инверсия в центре симметрии или вращение и отражение в плоскости симметрии.

Инверсионная ось симметрии представляет собой сочетание поворота вокруг оси вращения на угол 2л/п с одновременным отражением в центре симметрии.

Имеются инверсионные оси первого, второго, третьего, четвертого и шестого порядка (обозначения в международной символике — I, 2, 3, 4, б). Инверсионная ось первого порядка I эквивалентна центру симметрии С, а второго 2 — плоскости симметрии Р. Инверсионная ось 4 всегда одновременно является поворотной осью Ь-2 (но не наоборот). Инверсионная ось 3 может рассматриваться как совокупность отдельно действующих оси L3 и центра инверсии С.

Кроме инверсионных осей, в точечных операциях симметрии второго рода иногда пользуются так называемыми зеркально-поворотными осями симметрии., которые представляют собой сочетание оси симметрии и отражения в плоскости симметрии, перпендикулярной этой оси. Однако в международной символике эти операции симметрии не указываются, поскольку все зеркально- поворотные оси, возможные в кристаллах, можно заменить инверсионными осями симметрии.

Паяный список точечных операций симметрии и их обозначений приведен в табл. 1.3 [83].

Совокупность операций симметрии, осуществленных относительно какой-либо точки решетки, в результате чего решетка совмещается сама с собой, называется точечной группой, или классом симметрии, кристаллической решетки.

В качестве примера рассмотрим оси симметрии кубической решетки (рис. 1.12). У куба имеется:

  • - три оси четвертого порядка (Li), проходящие через центры противоположных граней (рис. 1.12, а);
  • - четыре оси третьего порядка (L3), которые являются пространственными диагоналями куба (рис. 1.12, б);
  • - шесть осей второго порядка (L2), проходящих через середины пар противоположных ребер (рис. 1.12, в).
Оси симметрии кубической решетки

Рис. 1.12. Оси симметрии кубической решетки: а) — оси четвертого порядка, б) — третьего, в) — второго (показана одна из шести)

Все оси симметрии К}'ба пересекаются в одной точке — в центре куба.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ ОРИГИНАЛ   След >