ОПЕРАТОР КОМПЛЕКСНОГО ГРАДИЕНТА И ЕГО ПРИМЕНЕНИЕ В ТЕОРИИ АДАПТИВНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ СИГНАЛОВ

В настоящей главе приводится определение оператора комплексного градиента и рассматриваются его свойства. Анализируются результаты применения этого оператора к действительным и комплексным целевым функциям. Эти результаты также сравниваются с результатами применения оператора действительного градиента к действительным целевым функциям.

Введение

В главе 1 было дано объяснение целесообразности изложения теории адаптивной фильтрации сигналов применительно к фильтрам не с действительными ВК, как в большинстве литературных источников, а с комплексными ВК. Одним из важных моментов этой теории является определение комплексного градиента, используемого при получении математических соотношений для адаптивных алгоритмов и анализа адаптивных фильтров, обрабатывающих комплексные сигналы. Поэтому в настоящей главе рассматриваются вопросы, относящиеся к определению и свойствам оператора комплексного градиента. Эти вопросы носят фундаментальный характер и являются полезными с точки зрения дальнейшего понимания материалов, представленных в настоящей книге.

Исторически развитие теории адаптивных фильтров с комплексными ВК происходило вслед за развитием теории адаптивных фильтров с действительными ВК. Так LMS-алгоритм [56] изначально был разработан для адаптивных фильтров с действительными ВК. Однако вскоре была получена версия этого алгоритма для адаптивных фильтров с комплексными ВК [57]. Аналогичным образом развивался и линейно-ограниченный (Linearly Constrained, LC) LMS- алгоритм адаптивной фильтрации сигналов [58, 59]. Необходимость разработки комплексных алгоритмов была связана с их использованием в ААР [1, 4—6, 23, 60, 61] и в адаптивных эквалайзерах [39, 40, 62, 63]. Комплексные алгоритмы также применяются при реализации адаптивных фильтров в частотной области [64, 65]. Сегодня существуют комплексные версии не только простейших LMS- алгоритмов, но и более сложных RLS-алгоритмов [66—68].

К сожалению, в большинстве литературных источников алгоритмы адаптивной фильтрации рассматриваются в основном применительно к фильтрам с действительными ВК. В алгоритмах вычисления ВК этих фильтров все переменные являются действительными. Однако в алгоритмах адаптивной фильтрации комплексных сигналов содержатся переменные, которые могут быть действительными или комплексными, а также в ряде формул могут принимать комплексно-сопряженные значения по отношению к одноименным переменным в других формулах. По этой причине формальный переход от математического описания алгоритмов для адаптивных фильтров с действительными ВК к описанию алгоритмов для фильтров с комплексными ВК не всегда является очевидным. Данное обстоятельство подчеркивает важность умения разрабатывать и анализировать адаптивные фильтры с комплексными ВК. Это важно и потому, что используемое в ряде литературных источников математическое описание адаптивных фильтров с N комплексными ВК в виде фильтров с 2N действительными ВК является не только громоздким, но и часто содержит систематическую погрешность в виде множителя, равного 2, который хоть и не влияет на характеристики полученных алгоритмов, но все же не вполне корректен с математической точки зрения.

В связи с этим в настоящей главе рассматриваются основы дифференцирования функции комплексного переменного, дается определение комплексного градиента, а также приводятся некоторые примеры его применения к целевым функциям, используемым в теории адаптивной фильтрации [22, 30, 69, 70].

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ ОРИГИНАЛ   След >