КЛАССИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ МЕХАНИКИ ДЕФОРМИРУЕМОГО ТВЁРДОГО ТЕЛА

Механика деформируемых твёрдых тел является частью механики сплошных сред и имеет важные практические приложения. В настоящее время она рассматривается как единая наука, объединяющая научные дисциплины: теорию упругости, теорию пластичности, теорию ползучести металлов, механику разрушения, механику композитов, механику сыпучих сред, теорию вязкоупругих и вязкопластических сред и т. д. Здесь будут построены математические модели лишь некоторых из этих дисциплин.

Модель нелинейной термоупругости

Сплошная среда, по определению, называется упругой средой, если состояние деформации характеризуется тензором деформации; в среде можно выделить некоторые состояния (обычно это исходное или начальное состояние, называемое естественным), в котором отсутствуют как напряжения, так и деформации, а температура постоянна; для всех состояний этой среды в любой точке и в любой момент времени тензор напряжений является взаимно однозначной функцией тензора деформаций:

где Z — пространство состояний, А/ — параметрические тензоры, характеризующие анизотропию среды. Обычно Z состоит из одного параметра — температуры среды в.

Итак, постулируется, что напряжённое состояние в рассматриваемый момент времени зависит только от поля перемещений, определяющего геометрическое состояние среды относительно исходного естественного состояния, но не зависит ни от способа перехода от этого состояния к рассматриваемому, ни от скоростей, с которыми осуществляется этот переход. Напомним, что для жидких сред, чтобы определить напряжённое состояние в некоторой точке, нужно знать только поле скоростей в данный момент времени. Конечно, естественное состояние упругой среды определено только с точностью до перемещения среды как абсолютно твёрдого тела.

Пусть х = ? + w(?, f) — закон движения сплошной среды

(3.6.21), где w — вектор перемещений. Считаем здесь, что ха — декартова система координат и — лагранжевы координаты частицы, равные пространственным координатам её положения в начальный момент, т. е. ? = х(?,0), так что w(?,0) = 0. Тогда в формуле (3.6.11)

Тензор 2-го ранга

или, в инвариантной форме (здесь используется второе определение (1.5.23) векторного градиента — тензора 2-го ранга дх/д?, дчг/д?),

называется тензором дисторсии (I — единичный тензор). Тогда тензор деформации, определяемый формулой (3.6.25), запишется в виде

где * означает сопряжение (транспонирование). Тензор Т зависит от времени и

где и — вектор скорости. Поэтому из первой части формулы (3.8.3) получим скорость изменения деформации

Здесь D — тензор скоростей деформаций, определённый формулой (3.3.19).

Замечание 3.6. Тензор Т имеет обратный: д^/дх — Т_ . Это следует из того, что отображение х = 7(?, ?) по предположению является вместе со своим обратным отображением непрерывным и дифференцируемым в некоторой окрестности точки частицы ш(.

Для дальнейшего удобно ввести вспомогательный тензор

где Р — тензор напряжений.

Рассмотрим уравнение притока тепла (3.4.7). В силу формул (3.8.4), (3.8.5) для двойной свёртки тензоров имеем

и уравнение (3.4.7) перепишется в виде

Тепловая энергия, сообщаемая в процессе движения некоторому объёму ujt, состоит из трёх частей. Первая — это количество тепла, возникающего в wt за счёт механической работы действующих сил. Так как процесс является обратимым, то эта часть тепла роста энтропии вызывать не должна, ибо в противном случае её нельзя было бы снова преобразовать в механическую работу. Поэтому за рост энтропии отвечает только оставшаяся часть тепла dQ = 0ds. Следовательно, количество тепла этого вида, выделяемого в единице объёма за единицу времени, равно p0ds/dt. С другой стороны, это тепло вносится в объём ojt за счёт теплопроводности среды, причём в единицу объёма за единицу времени притекает количество тепла div(fcV0), плюс тепло от внутренних источников, равное ph. Равенство этих количеств и есть первая аксиома термодинамики упругого тела 7V

Справедливо равенство

Эта аксиома позволяет преобразовать уравнение (3.8.6) к виду

где F = U - 0s — свободная энергия.

Следующая аксиома состояния Т-2 завершает формулировку предположений о термодинамике упругого тела.

Независимыми термодинамическими параметрами упругого тела являются тензор деформаций ? и температура 0. Свободная энергия F(?,0) и коэффициент теплопроводности эг(?,0) суть изотропные функции тензора ?.

Следствием этой аксиомы является равенство

Его подстановка в выражение (3.8.7) и учёт независимости параметров ? и в приводят к формулам

Легко видеть, что если F — изотропная функция тензора ?, то и OF/d? обладает тем же свойством. Поэтому из аксиомы Тф формулы (3.7.24) и первого равенства (3.8.8) следует, что тензор Р также есть изотропная функция тензора ?. По формуле Лагранжа-Сильверста (1.4.40) получим представление

где а, /3,7 — функции только инвариантов тензора ? и температуры в. Эти функции должны определяться из эксперимента и в модели считаться известными. Это же относится и к коэффициенту теплопроводности к.

Второе из равенств (3.8.8) используется для преобразования уравнения аксиомы Т. Если ввести коэффициент теплоёмкости при постоянной деформации сг = -вд2 F / дв2, то упомянутое уравнение примет вид

Коэффициент с? также считается известной функцией инвариантов тензора ? и температуры в.

Основными искомыми элементами в теории упругого тела считаются вектор перемещений w и температура в. В лагран- жевом описании они рассматриваются как функции переменных (4, t). В уравнение импульса вектор перемещений w вводится с помощью соотношений

и оно примет вид

Можно проверить, что уравнения (3.8.10), (3.8.11) вместе с равенствами (3.7.24), (3.8.2), (3.8.3), (3.8.5), (3.8.9) при заданных а, /3, 7, к, с? функциях инвариантов тензора ? и температуры в — образуют замкнутую систему уравнений. Эта система и есть математическая модель упругого тела Мд. Для полноты записи уравнений этой модели требуется ещё преобразовать входящие в формулы (3.8.10) и (3.8.11) операции div и V к лагранжевым координатам. Если писать diVc для этой операции в эйлеровых координатах и div^ — в лагранжевых (аналогичный смысл имеют Vx и V$), то нужное преобразование даётся формулами

Упражнение. Вывести формулы (3.8.12).

Итак, математическая модель деформируемого твёрдого те-

л а такова:

ООО

где J1, ./2, ,7з — инварианты тензора ? все операции выполняются уже в лагранжевой системе координат f1, ?2, ?3. Всего имеется 23 уравнения относительно 23-х неизвестных. По известным тензорам Р и Т тензор напряжений Р восстанавливается с помощью второй формулы (3.8.5): Р = Т Р-Т*.

Уравнения модели Мд называются уравнениями термоупругости. Модель Мд нелинейна и весьма сложна как для решения конкретных задач, так и для общего математического анализа. На практике обычно используется её линейный вариант.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ ОРИГИНАЛ   След >