МАЛЫЕ ДЕФОРМАЦИИ

Считаем, без ограничения общности, что сопутствующая система координат в начальном положении выбрана декарто-

0 0

вой прямоугольной: 9ар= S(xp, фар= тг/2 при а ф ,5. Если удлинения и сдвиги малы,

то из формул (3.6.16) и (3.6.19) получим в линейном приближении

Значит, при малых удлинениях компоненты тензора деформации с одинаковыми индексами совпадают с удлинениями вдоль соответствующих осей, а компоненты с разными индексами равны половинам сдвигов элементов, идущих вдоль соответствующих осей, т. е. все компоненты ёар также малы. Если поле перемещений неоднородно, но эта неоднород-

л О о

ность мала: |Уагфд| Vawp |

Подчеркнём, что формулы (3.6.24), (3.6.25) остаются в силе (нелинейными), даже если малы удлинения и сдвиги. Соотношения (3.7.3), (3.7.4) получены при малых неоднородностях вектора перемещений.

Введём вектор 12, являющийся вихрем поля перемещений

откуда антисимметричный тензор VjAw)^] найдётся в виде Аналогично, в сопутствующей системе координат

Рассмотрим случай, когда по сравнению с единицей малы не только удлинения и сдвиги (см. формулы (3.7.1)), но и углы

Л ~ О

поворота, т. е. малыми являются величины ?пр, О7 (или О7)-

?V О О о

Если ввести обозначения вар = V(awp), вар = V(awp). т0

и формулы (3.6.24), (3.6.25) для компонент тензора деформации перепишутся так:

Из формул (3.7.8), (3.7.9) легко видеть, что малыми, срав-

Л О

нительно с единицей, будут также величины вар и вар?

л 0 0

Далее, считая вар и П7 (или вар и Q 7) малыми, видим, что возможны два случая:

л О

а) Й7 (ft7) являются малыми того же или более высокого

л О

порядка, что и вар (варУ,

/ч О

б) вар (вар) являются малыми того же или более высокого

порядка, что и ft7ftA (ft7 12л).

В первом случае в формулах (3.7.8), (3.7.9) нужно сохранить только линейные слагаемые:

Во втором необходимо оставить только члены порядка АТАЙ

о о ,

Упрощённые формулы (3.7.10), (3.7.11) справедливы в произвольной сопутствующей системе координат. Если эта система — прямоугольная декартова в деформированном пространстве, то

а вторые формулы (3.7.10), (3.7.11) остаются без изменений.

Если же сопутствующую систему координат взять прямоугольной декартовой в пространстве начальных состояний, то упрощаются только вторые формулы (3.7.10) и (3.7.11):

Формулы (3.7.12), (3.7.13) используются при описании деформации в деформированном пространстве, а (3.7.14), (3.7.15) — в начальном пространстве.

Приближённые выражения для компонент тензора деформации (3.7.10), (3.7.11) имеют широкий круг применения. Первые из них охватывают такие задачи, в которых при малых компонентах тензора деформации и углах поворота те и другие являются величинами примерно одинакового порядка, что имеет место преимущественно при деформации массивных тел, все размеры которых сравнимы друг с другом. Что касается формул (3.7.11), то они отвечают случаю, когда при малой деформации и малых углах поворота вторые существенно превосходят первые. Это будет при деформации гибких тел, например стержней, пластин и оболочек. Отметим, что далеко не все задачи деформации гибких тел относятся к числу нелинейных. Многие из них могут быть решены и в рамках линейной теории, основывающейся на формулах (3.7.10). Возможны и задачи, для решения которых упрощённые формулы не применимы и необходимо пользоваться общими формулами (3.6.24), (3.6.25). Тем не менее, формулы (3.7.11) являются важным промежуточным звеном между общими и линейными формулами.

Систему уравнений совместности деформации (3.6.34) можно упростить в случае малых деформаций. Пусть малы по сравнению с единицей как сами компоненты тензора деформации, так и производные от них по координатам. Тогда в силу формул (3.6.31), (3.6.32) малыми будут величины jaT, Gav Поскольку в линейном приближении

то в том же приближении система (3.6.34) примет вид

Воспользовавшись выражением для ковариантной производной от компонент тензора (1.5.44), нетрудно показать, что выражение (3.7.16) можно записать в компактной форме

Соотношения (3.7.17) называются уравнениями совместности малых деформаций Сен-Венана. Эти уравнения в актуальном пространстве таковы:

Индексы и, ас, Л, /х в формулах (3.7.17), (3.7.18) принимают значения (3.6.30).

Упражнение. Выписать уравнения Сен-Венана (3.7.17), когда сопутствующая система координат в начальном положении является прямоугольной декартовой. То же самое проделать и для уравнений (3.7.18), когда сопутствующая система координат взята прямоугольной декартовой в деформированном состоянии среды. Результаты сравнить.

Найдём относительное изменение объёма при деформации. Для этого рассмотрим элементарный индивидуальный тетраэдр, построенный на векторах элементарных перемещений, направленных вдоль координатных линий сопутствующей системы координат (см. рис. 3.7).

Обозначим через dujо и dwt значения объёма в моменты времени to и t соответственно:

Относительное изменение объёма есть

оно называется коэффициентом кубического расширения

о

среды. Отношение определителей д/ Я выражается через ин-

0

варианты тензоров ? и ?. В самом деле, из формул (3.6.14)

Рис. 3.7

Элементарные тетраэдры до и после деформации

получим

Переходя в этих формулах к определителям, найдём

где через Ji, ./2, J3 обозначены основные инварианты тензора

ООО о

?, а через Jь J2, ./з — основные инварианты тензора ?. Из формул (3.7.20) получим искомое отношение определителей

Соотношение (3.7.19) для коэффициента кубического расширения позволяет найти выражения

Первой из формул (3.7.22) следует пользоваться, когда деформация описывается тензором ?, второй — когда характеристи-

О

кой деформации является тензор ?.

Формулы (3.7.22) справедливы при произвольных конечных деформациях. В случае малых деформаций (величины

О О

{Ji-rh) являются бесконечно малыми по сравнению с (Л) и (Jl)

О

и первый инвариант тензора деформации (? или ?) совпадает с коэффициентом кубического расширения.

С помощью формул (3.7.20) уравнение неразрывности (3.3.3) можно переписать в эквивалентных формах:

В частном случае малых деформаций формулы (3.7.24) допускают упрощения

т. е. в этом приближении они неразличимы.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ ОРИГИНАЛ   След >