ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ, АКСИОМЫ И ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ

Сплошная среда трактуется как меняющаяся со временем часть физического пространства. Принципиальный вопрос о структуре пространства-времени событий в классическом подходе решается так: сплошная среда считается частью трёхмерного евклидова аффинного пространства Л3 и предполагается, что время t не зависит от событий, т. е. абсолютно. Эти предположения, составляющие основу ньютоновской механики, принимаются в качестве первой аксиомы.

Аксиома пространства-времени А. Сплошная среда есть подмножество трёхмерного евклидова аффинного пространства. Время абсолютно.

Евклидово-аффинное пространство состоит из векторов и точек, причём для любых двух его точек А, В однозначно определён вектор АВ с началом А и концом В. В этом пространстве фиксируется начало отсчета — точка О, а положение любой другой точки А характеризуется её радиус- вектором х = ОА. Все векторы считаются принадлежащими одному и тому же евклидову векторному пространству над полем вещественных чисел Я1. Открытые связные множества — области П с Я3 — рассматриваются как положения (конфигурации) сплошной среды. В механике область с кусочногладкой границей обычно называется объёмом.

Область Ос Я3 называется материальной областью (или средой), если на ней определена аддитивная функция множества, называемая массой. Предполагается, что для любого (не пустого объёма) ш с О его масса М(ш) > 0. Аддитивность массы означает, что для любых двух непересекающихся объёмов и справедливо равенство

Кроме массы, на среде предполагается заданной другая аддитивная функция множества, называемая внутренней энергией и обозначаемая Е).

Среда О с Я3 называется материальным континуумом, если функции М и Я» дифференцируемы на О и их плотность (объёмная) ограничена. Объёмная плотность массы обозначается р и называется плотностью среды или просто плотностью. Объёмная плотность внутренней энергии обозначается pU, в связи с чем U называется удельной внутренней энергией (внутренней энергией единицы массы). Следующие формулы устанавливают связь между соответствующей аддитивной функцией множества и её объёмной плотностью:

Вторая аксиома фиксирует это свойство сплошной среды.

Аксиома материального континуума А-}. Сплошная среда есть материальный континуум.

Переход сплошной среды из положения Hi в положение П2 называется её перемещением. Далее рассматриваются перемещения сплошной среды в зависимости от времени t, изменяющегося в некотором интервале (а, Ь) е Я1. Положение среды в момент времени t обозначается Ht. Совокупность точек, принадлежащих семейству областей VI,. рассматривается как множество (область) W с Я4(хД), где

В этом представлении каждое положение П( есть сечение четырёхмерного множества W гиперплоскостью, несущей данное значение и параллельной пространству Я3(х).

В дальнейшем фиксируется момент времени tQ е (а, Ь) и рассматривается однопараметрическое семейство перемещений 7t положения П в положение П, для каждого t е (а, Ь) (для простоты вместо П будет использоваться символ П0). Если каждое перемещение является отображением П0 на ilt, то для каждой фиксированной точки ? е По возникает отображение 7(?) : (а.Ь) —> Я3, действующее по формуле 7 (?)(*) = 7/. (О-

Отображение 7 : П0 х (а, Ь) -э Я3, действующее по формуле 7(?,i) = 7t(?), называется движением сплошной среда. Следующая аксиома фиксирует существование и класс перемещений.

Аксиома движения A3. Для любого to 6 {а.Ь) перемещение сплошной среды из положения По в положение П( определено и есть гомеоморфизм (взаимно-однозначное и непрерывное отображение) области По на область Vl t: для каждой точки ? е П0 отображение 7(?) : (а.Ь) -» Я3 непрерывно и кусочно-непрерывно дифференцируемо на (а, Ь).

Эта аксиома позволяет индивидуализировать (материализовать) точки сплошной среды. Индивидуальной (материальной) точкой называется точка х = 7(?,f) € Я3, получаемая в результате движения фиксированной точки ? е П0. Для краткости индивидуальная точка называется частицей сплошной среды. Каждая частица при изменении времени t описывает в Я3 кривую, называемую траекторией этой частицы.

Движущимся объёмом (или индивидуальным, или материальным) называется объём u>t, состоящий для всех t е (а, Ь) из одних и тех же частиц.

Подчеркнём принципиальное различие между точкой пространства и частицей: точка есть место в пространстве, а частица — малая часть материального объёма. Размеры частицы должны быть пренебрежимо малы по сравнению с характерными размерами изучаемого явления. С другой стороны, размеры частицы должны быть достаточно велики, чтобы не учитывать молекулярную структуру среды, см. п. 3.1.

Замечание 3.2. В силу аксиомы Дч, для всех ? € По и всех (кроме, быть может, конечного числа) значений t е (а,Ь) существует производная (?,t)/dt, которая называется скоростью движения частиц. Скорость есть вектор, обозначаемый и.

Существует два способа описания скалярных, векторных или тензорных полей, заданных на движущейся сплошной среде. Первый называется эйлеровым описанием и заключается в задании значения поля F на положении как функции точки х € Я3 и времени t, т.е. значения F(x,t). Второй, связанный с понятием частицы, называется лагранжевым описанием и состоит в задании значения того же поля на каждой частице ? е П0 в момент времени t. Пусть это значение есть

О О

F (?,?). Функции F и F связаны тождеством Дифференцирование по t приводит к равенству

В правой части на функцию F действует дифференциальный оператор, который называется полной производной (синонимы: индивидуальная производная; материальная производная; производная в частице; производная вдоль траектории) и обозначается символом d/dt (в отличие от частной производной

d/dt). Итак, для любого гладкого поля F = F(x,t) полная производная даётся формулой

В частности, если F = х, то х= 7(?,?) и снова получается формула определения скорости

Координаты (?,t) называются лагранжевыми, а (x,t) — эйлеровыми.

Различие этих двух описаний существенно. Например, если поле вектора скорости и известно в лагранжевом описании, т. е. задана вектор-функция и (?,?), то определение траекторий частиц (а значит, и движения сплошной среды в целом) сводится к квадратуре

Если же поле и известно в эйлеровом описании, т. е. задана вектор-функция u(x,t), то та же задача приводит к задаче Коши для дифференциального уравнения движения частиц (уравнения траекторий)

Несмотря на то, что первая задача много проще второй, лагранжево описание удобно не всегда. В частности, основные дифференциальные уравнения сплошной среды имеют более простой вид в эйлеровом описании.

При эйлеровом описании отображение 7 получается в силу зависимости решения вышеупомянутой задачи Коши от начального значения ?. Если поле u(x, t) один раз непрерывно дифференцируемо, то существует якобиан J = det(дх/д(,). Для него справедлива формула Эйлера

Это есть просто формула (1.8.26), так как J = fg.

В дополнение к основным числовым характеристикам объёма сплошной среды определяются ещё следующие аддитивные функции множества для любого объёма из е Cl: количество движения (импульс)

момент количества движения (момент импульса)

кинетическая энергия

полная энергия

Изменение этих характеристик при движении происходит под действием силовых и энергетических воздействий на объём ш. Эти воздействия осуществляются с помощью новых величин: главного вектора сил F(w), главного момента G(w) и вносимой мощности N(w).

Если все упомянутые величины взять для какого-либо фиксированного движущегося объёма, то они будут функциями только времени t. Следующая аксиома устанавливает их определённую связь.

Аксиома баланса А±. Для любого движущегося объёма ш( € П и в любой момент времени t е (а. Ь) справедливы равенства

Эту аксиому иногда называют «принципом отвердевания», так как данные равенства справедливы в случае движения твёрдого тела.

Для конкретизации правых частей в аксиоме баланса требуется определённое представление о силах, действующих на объёмы сплошной среды. Здесь будут рассматриваться только внешние массовые (объёмные) и внутренние поверхностные силы.

Внешней массовой силой называется аддитивная вектор- функция Fe, имеющая плотность. Если ввести её массовую плотность f, то объёмная плотность будет pi. Поэтому внешняя массовая сила, действующая на объём ш, даётся формулой

Соответственно, момент внешней массовой силы, действующий на объём ш, определяется по формуле

Внутренняя поверхностная сила действует на объём ш только по его поверхности дш. Для её определения рассматривается произвольное сечение ? области О некоторой плоскостью, делящей Q на части Hi и

Внутренней поверхностной силой, действующей через сечение ? со стороны части Я2 на часть Cli, называется аддитивная вектор-функция F, множеств а с ?. Следующая аксиома утверждает существование и дифференцируемость этой силы.

Аксиома внутренних поверхностных сил А$. Внутренняя поверхностная сила определена для любого сечения Е области П и имеет плотность (поверхностную) на Е.

Пусть п — орт нормали к Е, направленный в сторону П2. Вводимая аксиомой Л5 поверхностная плотность обозначается р„ и называется напряжением поверхностных сил, действующим на область Г2х через площадку с нормалью п. Для области а с Е сила, действующая на часть Пх со стороны части П-2 через площадку а, равна

Внутренней поверхностной силой, действующей на объём со с П со стороны области Q ш, называется сила

где в каждой точке поверхности дш в качестве п взят орт внешней нормали к дш (точнее, в почти каждой точке, так как поверхность предполагается лишь кусочно-гладкой). Соответственно, момент внутренних поверхностных сил, действующих на объём ш, определяется формулой

Следующая аксиома фиксирует предположение о том, что никаких других, кроме перечисленных выше, сил и моментов на объёмы со с П не действует.

Аксиома сил и моментов Аа. Главный вектор и главный момент сил, действующих на любой объём ш с П, даются формулами

Наконец, требуются ещё сведения о мощности притока энергии в объёмы ш. Этот приток происходит за счёт работы действующих сил, переноса тепловой энергии, внешних источников энергии, внутренних источников тепла.

Мощностью, развиваемой внутренними поверхностными силами и внешними массовыми силами, называются, соответственно, величины

где h(x. t) — объёмная плотность внутренних источников тепла.

Приток тепла через поверхность определяется с помощью сечений Е аналогично внутренней поверхностной силе.

Потоком тепла через сечение Е из части fi2 в часть fix называется аддитивная скалярная функция Q множеств с Е. Следующая аксиома утверждает существование и дифференцируемость этой функции.

Аксиома потока тепла Ат. Поток тепла определён для любого сечения Е области fi и имеет плотность (поверхностную) на Е.

Поверхностная плотность потока тепла обозначается qn. Для области гг с Е поток тепла из части П2 в часть fix через площадку а равен

Потоком тепла в объём из с fi из области f называется величина

где п — внешняя нормаль к диз.

Следующая аксиома фиксирует предположение об отсутствии других, кроме перечисленных выше, механизмов внесения энергии в объёмы ш.

Аксиома потока энергии Мощность, вносимая в любой объём ш С Q, равна

В итоге принятых аксиом и данных определений формируется следующая классическая математическая модель движущейся сплошной среды.

Интегральные законы сохранения М. В движущейся сплошной среде для любого движущегося объёма и любого момента времени t е (а.Ь) справедливы равенства: закон сохранения массы

закон сохранения импульса закон сохранения момента импульса

закон сохранения полной энергии

Окончательно можно сформулировать следующее определение: движущаяся сплошная среда есть объект, удовлетворяющий аксиомам А%— А%. Её математической моделью является совокупность законов сохранения М.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ ОРИГИНАЛ   След >