ЭЛЕМЕНТЫ МЕХАНИКИ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ

ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ

В этом разделе рассматриваются общие вопросы динамики сплошных сред. Получены, на основе законов сохранения, уравнения, выполняющиеся для всех сред, и построены замкнутые системы уравнений для ряда моделей жидких и твёрдых сред.

Предметом изучения в механике сплошных сред являются физические тела, обладающие характерными свойствами сплошности и внутренней подвижности. Сплошность есть свойство тела заполнять целиком, без пустот, занимаемую им часть пространства. Свойство внутренней подвижности, или деформируемости, состоит в том, что отдельные части тела могут перемещаться относительно друг друга при неизменной внешней форме тела. Сплошное деформируемое физическое тело получило название «сплошная среда».

Строго говоря, в силу атомно-молекулярного строения любого вещества, таких физических тел нет. На самом деле, когда речь идет о физическом теле как сплошной среде, свойство сплошности предполагается выполненным приближённо, при условии малости характерного масштаба молекулярных процессов по сравнения с минимальным масштабом изучаемого взаимодействия со средой. Эти масштабы различны для разных условий. Например, среднее расстояние между частицами (молекулами) воздуха вблизи земли I ~ 10_6 см, в атмосфере на высоте 60 км / ~ 10_3 см, а в космосе I ~ 1 см. Если принять, что нижняя грань длин L, на которых изучаются явления в этих средах, соответственно равна 10“1 см, 102 см и 105 см, то для всех трёх случаев будет l/L ~ 10-5. Поэтому космическую среду можно считать сплошной в том же смысле, в каком это допустимо для воздуха при нормальных условиях.

В повседневной практике встречаются разнообразные сплошные среды, такие как вода, воздух, масло, глина, дерево, железо, гранит, песок и т. п. Они играют большую роль в процессе освоения человеком окружающей среды. Во взаимодействии со сплошными средами плавают корабли, летают самолеты, добываются полезные ископаемые и формируется погода, из сплошных сред строятся дома и мосты, сплошные среды участвуют в производстве электроэнергии и продуктов питания.

Схематически сплошные среды можно подразделять на жидкости, газы и деформируемые твёрдые тела. Условность этих понятий хорошо показывают примеры асфальта, который крошится при ударе молотом, но плавно растекается по поверхности за достаточно большое время, или металла, твёрдого при нормальной температуре, но жидкого при плавлении. Желе, краски в состоянии покоя ведут себя подобно упругому телу, но если их встряхнуть, то они теряют упругость и ведут себя как жидкости. Полимерные растворы могут одновременно проявлять свойства твёрдого тела и жидкости.

Механика сплошных сред изучает механические и тепловые процессы, протекающие в сплошных средах под влиянием приложенных внешних воздействий со стороны других тел. Проблемы механики сплошных сред многообразны. Это — проблемы силового и энергетического взаимодействия жидкостей и газов с движущимися в них телами; протекания жидкостей и газов по трубам и каналам и фильтрации сквозь пористую среду; движения и равновесия деформируемых твёрдых тел, их прочность и разрушения; волновых и вибрационных явлений в жидких и твёрдых телах; циркуляция атмосферы и океана, прогноза погоды; турбулентных — быстро и беспорядочно пульсирующих движений жидкостей и газов; поведения очень сильно сжатых (до миллиона атмосфер) и очень сильно разреженных (космос) сред; использования движений ионизованных газов (плазма) и веществ в условиях химических превращений (горение, взрыв, детонация); поведения полимерных материалов; биомеханики (мышцы, кровь, растения) и многие другие.

Как естественная наука, механика сплошных сред подразделяется на экспериментально-физическую и теоретическую. Здесь будут рассмотрены вопросы только теоретической механики сплошных сред.

Метод теоретической механики сплошных сред заключается в том, что на основе общих физических законов и систематизированных данных экспериментов строится математическая модель поведения того или иного класса сплошных сред.

Математическая модель представляет собой систему соотношений (уравнений и неравенств), связывающих величины, характеризующие различные свойства среды. Обычно это — дифференциальные (и конечные) уравнения, к которым добавляются начальные и граничные условия. Математическая модель должна обладать свойством корректности, т. е. решение входящих в неё уравнений должно существовать, быть единственным и устойчивым. В действительности строго доказать корректность математической модели удается не всегда, ввиду чего для оценки её качества широко используется критерий практики.

Затем идёт разработка чисто математических методов изучения структуры модели и решения конкретных задач, связанных со специализацией дополнительных условий протекания процессов в сплошной среде. Эти методы могут быть аналитическими или численными. Каждый из них имеет свои преимущества и недостатки и применяется в зависимости от конкретной цели исследования. Ввиду сложности общих уравнений механики сплошных сред, создание и применение математических методов встречает большие трудности. Поэтому получили широкое распространение методы упрощения исходных уравнений (или решаемых задач), как точные, так и приближённые.

Место механики сплошных сред в классификации наук определяется тем, что механика вообще является частью физики, изучающей строение реального мира. В теоретической части этой науки исходные данные, добытые опытным путём, закладываются в математическую модель, после чего проблемы исследуются средствами чистой математики через решение конкретных математических задач. Поэтому теоретическая механика сплошных сред является разделом математической физики и составляет основу классической прикладной математики.

Для понимания физических основ формирования математических моделей механики сплошных сред вначале полезно обратиться к молекулярному (микро) описанию. Пусть некоторый объём С1 сплошной среды содержит N молекул щ, г = 1 Тогда знание массы т* молекулы щ, её положения х,о и скорости ui0 в момент времени to, а также действующей на неё силы f, определяет положение и скорость этой молекулы в любой момент времени t через решение дифференциального уравнения второго закона Ньютона (с начальными условиями)

Если бы такое определение удалось, то можно было бы ответить на любой вопрос о поведении среды в объёме Cl. Однако этот путь неприемлем, так как число N очень велико (если Cl = 1 см3 воздуха, то N ~ 1019. Напомним, что в 1 моле « 22,4 литра содержится Na = 6,0247 • 1023 молекул — число Авогадро), а силы f, точно не известны; также неизвестны и начальные условия. Поэтому микроописание сплошных сред отпадает и заменяется макроописанием, в котором основными являются средние величины.

Рассмотрение средних величин есть методологическая основа конструирования математических моделей сплошных сред.

Наиболее широко распространены две макротеории: молекулярно-кинетическая и феноменологическая. В молекулярно-кинетической теории (кинетической теории газов) средние величины скорости, плотности и т. д. вводятся с помощью теоретико-вероятностного (статистического) описания через функцию распределения молекул по положениям и скоростям. Кроме того, делаются определённые предположения о характере сил взаимодействия между молекулами (упругие столкновения, кулоновское отталкивание и т. п.). Получаемая математическая модель имеет вид так называемого уравнения Больцмана для функции распределения. Эта модель используется при изучении взаимодействия тела с сильно разреженным газом.

Основу феноменологической теории составляет представление о том, что в каждой точке А пространства, занятого сплошной средой, плотность, скорость и другие механические величины можно определить как пределы некоторых средних по объёму Г2, содержащему точку А. Эти средние формируются так. Пусть молекулы щ, i = 1 находящиеся в

объёме П, имеют массу рг, скорость и, и внутреннюю энергию Ui. По ним вычисляются макрохарактеристики объёма Я:

N N

масса М = га.,;, импульс К = тsu< и полная энергия

г=1 «=1

N

Е = 53(m,|Uj|2/2 + {7i). С помощью этих характеристик опре-

г=1

деляются средняя плотность р* = М/Я и средняя скорость и* = К/М. Далее вычисляется полная внутренняя энергия

N

U = J2(miut ~ u*|2/2 + Ui) и по ней определяется средняя

г=1

внутренняя энергия U* = U/Я. Тогда макрохарактеристики объёма Я выражаются только через средние величины

Физическая гипотеза «материального континуума» позволяет приписать точке А «предельные» значения средних, например, р = limp*, u = lirnu*, когда объём Я стягивается к точке А. Наконец, математическая модель имеет вид законов изменения макрохарактеристик со временем на основе дополнительных физических гипотез о силовых и энергетических воздействиях на объём П.

Чёткое выделение этих гипотез позволяет рассматривать феноменологическую теорию механики сплошных сред как теорию некоторой математической структуры, основанной на определённой системе аксиом. Эта теория и излагается далее.

Замечание 3.1. Из сказанного выше следует, что классическая механика сплошных сред, по существу, основана на трёх утверждениях:

  • 1) справедлива классическая механика Ньютона;
  • 2) справедлива классическая термодинамика;
  • 3) справедлива гипотеза сплошности.

Первое утверждение предполагает, что изучаются движения со скоростями, малыми по сравнению со скоростью света, и рассматриваются макроскопические объекты, размеры которых существенно превосходят размеры микромира.

Второе утверждение предполагает, что в окрестности каждой точки среда находится в состоянии термодинамического равновесия, вследствие чего можно пользоваться законами термодинамики.

Третье утверждение предполагает замену реальной среды с её молекулярным дискретным строением моделью сплошного распределения вещества по рассматриваемому объёму.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ ОРИГИНАЛ   След >