ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ФОРМУЛЫ ИЗ ТЕОРИИ ПОВЕРХНОСТЕЙ

В этом пункте будем считать систему координат ж", а — = 1,2,3, прямоугольной декартовой. Пусть х = {ql ,q2) — параметризация (локальная) поверхности 5, причём х(г/1,г/2) е € C2(D), где D — область изменения координат ql,rj2. Нормаль к S обозначим символом п, так что

Коэффициенты первой квадратичной формы поверхности (2.3.16) примут вид (g-ij = Sij)

так что в формуле (2.5.1) знаменатель

Что касается коэффициентов второй квадратичной формы поверхности (2.3.21), то они имеют вид (2.3.30), откуда

Средняя Я и гауссова Я кривизны поверхности S определяются по формулам (2.4.18) и в нашем случае

Дифференциальные параметры Бельтрами (2.2.45) и (2.2.49) поверхности S перепишутся так:

Указанными выше формулами (2.5.1)—(2.5.8) удобно пользоваться в конкретных приложениях.

Предположим, что х(7/1,?72Д) — радиус-вектор точек на S, где t — параметр, не зависящий от координат т?1,??2. Если функция определена на 5, то ip = 9?(x(r/1, rj2,t), t) =

= v(v^V2,t) и

Поэтому

Положим Js = /а, где а = EG - F2 дискриминант первой квадратичной формы поверхности. Ясно, что Js = п ? (xr;i х хх,,2) (см. формулу (2.5.1)). Тогда соотношения (2.5.9) можно записать в виде

Здесь

есть поверхностный градиент — проекция градиента на касательную к S плоскость.

Для доказательства справедливости формул (2.5.10), (2.5.11) достаточно заметить, что V

+ b2x.fi1 +63x^2 (тройка векторов n, х,р, х,(2 образует базис, причём векторы vi,xn2 лежат в касательной к S плоскости). Тогда b = Wip ? п и, используя равенства (2.5.2), (2.5.3), находим Ь-2 = (viG - tpV2F)/Jg, 63 = {(prfE - TliF)/Jg. Поэтому поверхностный градиент

Далее,

и с помощью тождества векторной алгебры а х (Ь х с) = Ь(а х х с) - с(а • Ь) приходим к формуле (2.5.11).

Пусть и — вектор, определённый на S, тогда

называется поверхностной дивергенцией вектора и. Заметим, что имеет место аналог теоремы Эйлера (1.8.26):

где u = dx(r)1 ,T]2,t)/dt, — скорость точки (г/1.//2), которая движется вместе с поверхностью S. Действительно, в силу равенств (2.5.2), (2.5.12)

Перейдём к выводу некоторых, часто применяемых в механике и физике, интегральных соотношений. Докажем, что

где u = dx(r)1,r]2,t)/dt, г — внешняя нормаль к кривой dS(t.), лежащая в касательной плоскости к S(t) (считается, что поверхность S(t) ограничена этой кривой), п — нормаль к S(t), а Я — её средняя кривизна, определяемая по формуле (2.5.5). Первые два равенства в (2.5.15) следуют из представления элемента площади dS — Jsdrfdrj1 и правила дифференцирования Js (2.5.14). Для установления последнего соотношения

  • (2.5.15) предположим, что кривая dS(t) задана в параметрическом виде: г)а r/“(s), а = 1,2 (при фиксированном времени i). Тогда т = Js{dr]2/dsj-drj1 /ds) и, пользуясь формулой
  • (2.5.12), находим

Разложим вектор и по базису: и = dxn + d2X,p + d^xrp = = d + us, получим, что интеграл от суммы двух первых слагаемых равен (использованы равенства (2.2.50))

так как вектор г ортогонален вектору п.

Согласно (2.5.8), третье подынтегральное выражение примет вид —и • Д3х. Поэтому необходимо преобразовать Asx. Умножая равенство (2.3.20) на ааи пользуясь определением (2.3.37) средней кривизны, найдём

где, в нашем случае, п1 — компоненты нормали п. В п. 2.2 отмечалось, что при ковариантном дифференцировании величины а, аад ведут себя как постоянные. Значит, равенство (2.5.16) можно переписать так:

Учитывая формулу (2.2.49), приходим к тождеству

Д3х = 2Яп, (2.5.17)

с помощью которого и устанавливается третье равенство (2.5.15).

Замечание 2.4. Матрица (а,1/3) такова:

Замечание 2.5. Имеет место тождество Оно следует из равенств (2.3.24) и (2.5.12).

Пусть rf.fj2 координаты на S(t), которые взаимнооднозначны связаны с координатами r^.rj2, а ^ ,t) =

= x{ri1(f}1,fj2),rt2(fj1,fj2),t) = ^(fj1 ,fj2,t) — радиус-вектор точек поверхности S(t). Обозначим скорости

ЕСЛИ

то

и справедливо интегральное тождество

Вывод соотношений (2.5.18), (2.5.19) проводится аналогичными рассуждениями, проведёнными при доказательстве (2.5.9) и (2.5.15).

Приведём ещё одно тождество. Именно, пусть две поверхности S(t) и S2{t) совпадает внутри замкнутой кривой DS(t,) и на этой кривой. Нормальные скорости поверхностей, где они соприкасаются, одинаковы, но их касательные скорости различны. Тогда

Упражнение. 1) Доказать равенство (2.5.20).

2) Доказать, что аа13сар — АН2 - К, где сар — коэффициенты третьей квадратичной формы поверхности S, см. (2.3.25) и (2.3.36).

3) Установить равенство Указание. Смотри вывод соотношения (2.5.15).

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ ОРИГИНАЛ   След >