ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ФОРМУЛЫ ИЗ ТЕОРИИ ПОВЕРХНОСТЕЙ

Далее,

и с помощью тождества векторной алгебры а х (Ь х с) = Ь(а х х с) - с(а • Ь) приходим к формуле (2.5.11).

Пусть и — вектор, определённый на S, тогда

называется поверхностной дивергенцией вектора и. Заметим, что имеет место аналог теоремы Эйлера (1.8.26):

где u = dx(r)¹ ,T]²,t)/dt, — скорость точки (г/¹.//²), которая движется вместе с поверхностью S. Действительно, в силу равенств (2.5.2), (2.5.12)

Перейдём к выводу некоторых, часто применяемых в механике и физике, интегральных соотношений. Докажем, что

где u = dx(r)¹,r]²,t)/dt, г — внешняя нормаль к кривой dS(t.), лежащая в касательной плоскости к S(t) (считается, что поверхность S(t) ограничена этой кривой), п — нормаль к S(t), а Я — её средняя кривизна, определяемая по формуле (2.5.5). Первые два равенства в (2.5.15) следуют из представления элемента площади dS — Jsdrfdrj¹ и правила дифференцирования Js (2.5.14). Для установления последнего соотношения

• (2.5.15) предположим, что кривая dS(t) задана в параметрическом виде: г)^а — r/“(s), а = 1,2 (при фиксированном времени i). Тогда т = Js{dr]²/dsj-drj¹ /ds) и, пользуясь формулой
• (2.5.12), находим

Разложим вектор и по базису: и = d_xn + d2X,p + d^x_rp = = d + us, получим, что интеграл от суммы двух первых слагаемых равен (использованы равенства (2.2.50))

так как вектор г ортогонален вектору п.

Согласно (2.5.8), третье подынтегральное выражение примет вид —и • Д₃х. Поэтому необходимо преобразовать A_sx. Умножая равенство (2.3.20) на а^аи пользуясь определением (2.3.37) средней кривизны, найдём

где, в нашем случае, п¹ — компоненты нормали п. В п. 2.2 отмечалось, что при ковариантном дифференцировании величины а, а^ад ведут себя как постоянные. Значит, равенство (2.5.16) можно переписать так:

Учитывая формулу (2.2.49), приходим к тождеству

Д₃х = 2Яп, (2.5.17)

с помощью которого и устанавливается третье равенство (2.5.15).

Замечание 2.4. Матрица (а^,1/3) такова:

Замечание 2.5. Имеет место тождество Оно следует из равенств (2.3.24) и (2.5.12).

Пусть rf.fj² — координаты на S(t), которые взаимнооднозначны связаны с координатами r^.rj², а ^ ,t) =

= x{ri¹(f}¹,fj²),rt²(fj¹,fj²),t) = ^(fj¹ ,fj²,t) — радиус-вектор точек поверхности S(t). Обозначим скорости

ЕСЛИ

то

и справедливо интегральное тождество

Вывод соотношений (2.5.18), (2.5.19) проводится аналогичными рассуждениями, проведёнными при доказательстве (2.5.9) и (2.5.15).

Приведём ещё одно тождество. Именно, пусть две поверхности S(t) и S2{t) совпадает внутри замкнутой кривой DS(t,) и на этой кривой. Нормальные скорости поверхностей, где они соприкасаются, одинаковы, но их касательные скорости различны. Тогда

Упражнение. 1) Доказать равенство (2.5.20).

2) Доказать, что а^а13с_ар — АН² - К, где с_ар — коэффициенты третьей квадратичной формы поверхности S, см. (2.3.25) и (2.3.36).

3) Установить равенство Указание. Смотри вывод соотношения (2.5.15).