ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕНЗОРНОГО АНАЛИЗА К ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ

В этом разделе приводятся, на основе тензорного исчисления, основные факты дифференциальной геометрии в трёхмерном евклидовом пространстве. Это — формулы Френе, элементы внутренней геометрии поверхностей, дифференциальные параметры Бельтрами и интегральные теоремы, часто используемые в механике и физике.

КРИВЫЕ В ПРОСТРАНСТВЕ

Пусть у8 - ортогональная декартова система координат, ^=1,2,3, а — криволинейная система координат, причём

Тогда у8 = у8г23), см. формулы (1.1.6)—(1.1.8).

Кривая в пространстве определяется как геометрическое место точек, координаты которых зависят от одного параметра. Если АВ - данная кривая, то координаты любой точки М на ней являются функциями некоторого параметра t. Построим в точке М какой-либо вектор, а затем в каждой другой точке этой кривой построим вектор, равный и параллельный первому, получим вектор Ха, определённый в каждой точке АВ, см. рис. 2.1. Тем самым построили параллельное векторное поле векторов вдоль кривой АВ.

Найдём уравнение, которому должно удовлетворять такое векторное поле. Пусть Y8 — координаты в системе у8. В этой

Рис. 2.1

Параллельное векторное поле на кривой

системе составляющие параллельных одинаковых векторов равны, значит, Y8 суть постоянные вдоль АВ и dY13/dt = 0. Поскольку Y& = ХадуР/дха, см. формулы (1.2.2), то дифференцируя по t, найдём

Умножим это уравнение на датду(3/дхт и просуммируем по /3 от 1 до 3, приходим к уравнению

где учтены равенства

Согласно второму соотношению (1.5.2) для символов Кристоф- феля, имеем

и параллельное векторное поле вдоль кривой АВ должно удовлетворять уравнению

Обратно, если есть векторное поле на кривой АВ, удовлетворяющее уравнению (2.1.1) и имеющее заданное значение в одной из её точек, то оно — параллельное векторное поле.

Возьмём какой-либо вектор в данной точке М и построим в каждой точке пространства параллельные ему векторы. Это параллельное векторное поле Ха зависит от ха. Проведём произвольную кривую через точку М, тогда векторы этого поля есть решения уравнения (2.1.1). Далее, dXa/dt = = дХа/дхА dx1 jdt и, в силу произвольности кривых, выходящих из М, т. е. для всех значений вектора dx1 jdt, приходим к уравнению

для параллельного векторного поля. Обратно, из выражения (2.1.2) следует соотношение (2.1.1).

Координаты точки М на кривой АВ определяются равенствами

Из соотношения (1.1.31) длина дуги s кривой даётся интегралом

Возьмём s в качестве параметра вдоль кривой АВ, тогда

откуда следует, что dxa jds есть единичный вектор (длина а вектора аа есть (gtxpaaaP)1/'2 либо ааар)1/2 для ковари- антного вектора, см. формулу (1.2.7)).

Рассмотрим точку Мь близкую к М и тоже лежащую в направлении роста s на кривой АВ её координаты равны ха + dxa. Вектор lim ММL/ds при ds —> 0 называется касательным вектором и обозначается через q:

Ясно, что q — единичный вектор, касательный к кривой АВ.

Любой вектор, ортогональный к касательному, называют нормальным вектором кривой; обозначим его через п = (п,Р). Поскольку угол в между двумя произвольными направлениями, задаваемыми единичными векторами е: и е2, определяется формулой

то, взяв ех = q, е2 = п, получим

Так как qa единичный вектор, то gapqaql3 = 1. Вдоль кривой левая часть есть функция параметра s. Взяв индивидуальную производную по s по формуле (1.7.18) с использованием равенств (2.1.5) и (1.5.48), найдём

Значит, вектор Dq&/Ds ортогонален к кривой АВ. Пусть

тогда единичный вектор

называется главной нормалью кривой АВ, а ж — её кривизной в рассматриваемой точке.

Точно так же доказывается, что индивидуальная производная Dn0 /Ds ортогональна к пР. Взяв индивидуальную производную по s от равенства (2.1.8), получим

в силу формул (2.1.10) и (2.1.5) (в последней надо ха заменить на qa). Снова пользуясь равенством (2.1.5), найдём

т. е. вектор Dn0/Ds + azq0 ортогонален к qa. По той же причине этот же вектор ортогонален и вектору па. Поэтому единичный вектор

ортогонален и к qa и к па, т = ±|Dna/Ds aeg"|. Знак т выбирается так, чтобы

где еару — компоненты дискриминантного тензора. Другими словами, векторы qa, па, иа образуют взаимно однозначную ортогональную положительно ориентированную (или правую) тройку векторов. Вектор г/* называется бинормалью кривой АВ в рассматриваемой точке, а т — кручением этой кривой в данной точке.

Упражнения. 1) Доказать, что

2) Показать, что

где qp, п-у — ковариантные компоненты векторов q и п.

Указание. Воспользоваться ортогональностью va к qa, па и равенством (2.1.12).

Из (2.1.13) найдём

Опуская индексы в равенствах (2.1.10), (2.1.11), получим

Подставляя эти производные в формулу (2.1.14), приходим к соотношению

где использовано тождество e^zpZy = 0 для любого вектора z и равенство типа (2.1.13) с заменой ра на па. Таким образом, вывели следующие равенства:

которые называются формулами Френе. Тройка единичных векторов q, р. п образует трёхгранник Френе, или сопровождающий репер, рис. 2.2.

Плоскость, проходящая через точку М кривой АВ, в которой лежат векторы q и и, называется соприкасающейся плоскостью. Плоскость, содержащая векторы и и п, называется нормальной плоскостью, а плоскость, в которой лежат векторы п и q — спрямляющей плоскостью.

Упражнение. 1) Доказать, что n = q х v (па = eA^qpv^).

2) Система (2.1.15) должна интегрироваться при условии ортонормированности

Рис. 2.2

Трёхгранник Френе

и на девять компонент векторов трёхгранника накладываются эти шесть ограничений. Найти три независимых угла, определяющих поворот трёхгранника около точки М — углы Эйлера. Упражнение. Показать, что

Замечание 2.1. 1) Если X" — параллельное векторное поле, заданное вдоль кривой АВ, то оно должно удовлетворять тензорному равенству (2.1.1)

а его ковариантные составляющие Ха есть решения аналогичного тензорного уравнения

2) Касательный вектор прямой всегда имеет одно и то же направление: он образует параллельное векторное поле и должен удовлетворять формуле (2.1.16). Этот единичный касательный вектор есть qa — dxa/ds, значит, уравнение прямой линии будет

Из первой формулы Френе следует, что (2.1.18) выражает факт равенства кривизны нулю: прямая имеет нулевую кривизну. Это — характерное свойство прямой. В декартовой системе координат Г^7 = 0 и уравнение прямой есть

d2xa/ds2 = 0.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ ОРИГИНАЛ   След >