ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ПО ПАРАМЕТРУ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ

Напомним некоторые интегральные выражения векторного анализа. Пусть а — поле гладкого вектора, a L = АВ — контур в этом поле, заданный уравнением г = r(s) с помощью параметра а, см. рис. 1.6.

Рис. 1.6

К определению циркуляции вектора

Криволинейный интеграл

называется циркуляцией вектора а по контуру L. Это скалярная величина и в произвольной системе координат х^а

где L_x есть задание контура L в координатах х^а.

Пусть теперь Е - поверхность в поле вектора а (см. рис. 1.7).

Интеграл

называется потоком вектора а через поверхность Е. Это величина скалярная и в переменных х^а получаем

Рис. 1.7

К определению потока вектора

Аналогично определяется вектор Q - поток тензора 2-го ранга через поверхность Е:

Формулы (1.8.3), (1.8.5) можно записать в более удобной для дальнейшего использования форме. Для этого в произвольной точке М пространства рассмотрим координатные линии и координатные поверхности системы координат ж¹, ж², ж³. Пусть dr_а = dx^ae_a и dr_a = мА_а, см. рис. 1.8.

Для координатных поверхностей х^а = const считаем, что d(T_a есть вектор элементарной площадки этой поверхности.

Рис. 1.8

Координатные линии и поверхности

Ясно, что откуда

Точно так же

Обозначим через da вектор площадки N1N2N3, получим значит,

Если п - нормаль к площадке N1N2N3, направленная в сторону, откуда обход этой площадки виден против часовой стрелки, то

Сравнивая формулы (1.8.9), (1.8.10), находим, что

и другое выражение для потока вектора (1.8.3) и потока тензора (1.8.5) есть

Пусть V — объём в поле некоторого тензора. В каждой точке М этого объёма векторы элементарных перемещений ск_а = Ш$_а определяют элементарный тетраэдр MN1N2N3 (см. рис. 1.8). Объём этого тетраэдра

Величины

называют количеством скаляра ip, вектора а, тензора Т в объёме V. В любой системе координат ж" эти величины вычисляются по формулам

Предположим, что гладкую поверхность ? ограничивает кусочно-гладкий контур L и на ? задана дифференцируемая вектор-функция а. Тогда справедлива формула Стокса

и поток вихря через поверхность Е равен циркуляции самого вектора вдоль замкнутого контура, ограничивающего эту поверхность. В компонентах равенство (1.8.16) в произвольной системе координат имеет вид

Если объём V находится в поле гладкого вектора а, то справедлива формула Гаусса-Остроградского

для кусочно-гладкой поверхности Е, ограничивающий этот объём. В произвольной системе координат формула (1.8.18) записывается так:

или

Равенство (1.8.18) легко обобщается на случай тензора Т второго ранга:

или

где использовано представление Т = Т°е". В частности, для шарового тензора Т =

Контур L будем называть индивидуальным, если он проходит через одни и те же точки подвижного пространства для любого значения параметра t. Тогда уравнения контура L_? в системе не содержат параметр t.

Циркуляция есть функция параметра:

значит,

Поскольку по первой формуле (1.7.6) то искомая производная имеет вид

Это инвариантная форма и её можно использовать в любой системе координат. Подынтегральное выражение в правой части

(1.8.24) легко преобразуется к виду

Теперь равенство (1.8.24) перепишется так:

Локальная производная вынесена за знак интеграла, так как выражение Ь_х не содержит явно параметр t.

Нам понадобится следующая формула (теорема Эйлера):

Она вытекает из цепочки равенств

Поверхность Е называется индивидуальной, если она проходит через одни и те же точки подвижного пространства при любом заданном значении параметра t. Уравнение в подвижных координатах параметра t не содержит, в отличие от уравнения При этих условиях поток вектора будет функцией t:

откуда

Поскольку (использована формула (1.7.7))

и, в силу формулы Эйлера (1.8.26), то производная от потока вектора равна

Подынтегральное выражение в (1.8.28) может быть упрощено. Действительно,

и формула (1.8.28) примет вид

Применяя теорему Стокса (1.8.16) к третьему слагаемому

(1.8.29), найдём

где L — кусочно-гладкий контур, ограничивающий поверхность Е.

Объём V называется индивидуальным, если он при любом значении параметра t состоит из одних и тех же точек подвижного пространства. Снова объём от t не зависит. Рассмотрим производные от величин (1.8.14) по параметру по такому объёму, используя формулы (1.8.15). Например, для первого будем иметь, в силу формулы Эйлера (1.8.26),

Так как

то, используя равенство (1.8.18), получим

Вектор pu называется плотностью потока скаляра. Для поля гладкого вектора а находим

Тензор 2-го ранга аи называется плотностью потока вектора.

Задача. Вывести формулы

с помощью которых получены равенства (1.8.25) и (1.8.29).