Меню
Главная
Авторизация/Регистрация
 
Главная arrow Математика arrow Математические модели механики сплошных сред

1.7. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ПО ПАРАМЕТРУ ТЕНЗОРОВ

Будем теперь считать, что формулы перехода от системы К(ха) к системе К(^а) имеют вид ха = жа(?х,?2,?3, t) с некоторым скалярным параметром t,. Считается, что t не зависит от системы координат (в физических задачах роль параметра t часто играет время). Также предполагается, что для любого t якобиан перехода от системы К к системе К отличен от нуля:

Ясно, что в системе координат К базисные вектора суть вектор-функции координат и параметра: ea(?T,t), e“(?T,f). При изменении параметра будет меняться и сама координатная система К. Её называют подвижной системой координат, а систему К — неподвижной. Далее, изменение системы К трактуется как изменение связанного с нею пространства. Тогда каждому значению параметра t будет соответствовать своё пространство, совпадающее с неподвижным пространством системы К. Подвижные пространства, соответствующие значениям и t, будем называть начальным и актуальным пространствами. Базисные векторы в начальном пространстве

есть е«= ea(?r,i°), е"= е"(?т,<°), а= 1,2,3.

Рассмотрим теперь тензоры, зависящие и от параметра. Тензор можно отнести к базисам неподвижной или подвижной системы координат. В первом случае от параметра будут зависеть только компоненты тензора, а во втором — компоненты тензора и полиады. Поэтому и возникают производные от тензора по параметру в разных смыслах.

Пусть сначала имеется скалярное поле р = p(M,t). В подвижных координатах р = p{t",t), а в неподвижных — ip = р(хТ ,t), поэтому можно рассматривать различные производные от скаляра по параметру: индивидуальную и локальную. Индивидуальная производная по параметру t, есть частная производная при фиксированных

Эта производная характеризует изменение в данной точке подвижного пространства.

Локальной производной скаляра р по параметру t называют частную производную при фиксированных координатах х":

Она характеризует изменение величины в данной точке неподвижного пространства.

Поскольку ха = жа(??2,?3,г), между индивидуальной и локальной производными имеется связь, определяемая формулой

Вводя вектор получим

Другими словами, изменение величины ip в данной точке подвижного пространства складывается из её изменения в точке неподвижного пространства. Последняя часть есть uTVTip, называемая конвективной производной. Значит, индивидуальная производная скаляра по параметру равна сумме локальной и конвективной производных.

Для базисных элементов еа, е“ подвижной системы координат имеем

так как в начальном пространстве параметр фиксирован.

Для элементов еа, еа подвижной системы в актуальном пространстве индивидуальные производные вычисляются по формулам

где последнее равенство следует из соотношения взаимности ё; ? ёв = бва.

Значения индивидуальных производных в неподвижной системе координат получаются путём дифференцирования формулы преобразования

по параметру. Выбирая подвижную систему К так, чтобы при данном t она совпадала с неподвижной системой К, находим (использованы формулы (1.7.6), (1.7.7))

Докажем равенства (1.7.8), (1.7.9). Имеем

или, в силу (1.7.3) и (1.7.6),

Поскольку при данном значении параметра ? е„ = ett, е" = = е‘ ТО VaUa = S/aU17, иа = и° и

тогда предыдущее соотношение перепишется так:

откуда и следует равенство (1.7.8). Для доказательства равенства (1.7.9) достаточно продифференцировать по параметру t соотношение взаимности е*3 ? еа = 6&а.

Локальные производные от базисных элементов системы К равны нулю,

поскольку эти векторы не зависят от t в каждой точке неподвижного пространства.

Пусть имеется гладкое векторное поле а = а {МЛ). В подвижной системе координат

Индивидуальная производная по параметру от первого равенства (1.7.11) есть

где введено обозначение

Значит, А = Ai + Aj,

Вектор At называется относительной производной вектора а и характеризует изменение вектора относительно подвижной системы координат. Вектор А* представляет часть изменения вектора а, связанную с движением подвижной системы, поэтому его называют переносной производной.

Для второго представления (1.7.11) найдём

Следовательно, A = A2 + A|,

т. е. получим другое представление индивидуальной производной через относительную А2 и переносную А2 производные. Заметим, что Ai ф А2, А* ф К2.

В неподвижной системе координат вектор а имеет вид

поэтому

Используя равенство

формулу (1.7.18) можно записать так:

Теперь из равенств (1.7.18), (1.7.19) следует, что

Поскольку dea/dt — 0 (см. (1.7.10)), то формуле (1.7.20) можно придать инвариантную форму

Итак, индивидуальная производная по параметру от вектора равна сумме локальной и конвективной производных. Индивидуальная производная вектора характеризует его изменение в фиксированной точке подвижного пространства. Локальная производная показывает изменение вектора в соответствующей точке неподвижного пространства. Конвективная производная выражает ту часть изменения вектора, которая обусловлена перемещением подвижного пространства.

Для второго представления вектора (1.7.17) индивидуальная производная равна

где

Легко видеть, что формула (1.7.23) получается из (1.7.19) с помощью операции опускания индекса — достаточно учесть равенство dgap/dt = 0. Поэтому формула (1.7.23) представляет запись векторного равенства (1.7.21) через ковариантные компоненты.

Пусть имеется поле тензора Т второго ранга, зависящее от параметра. В подвижной системе координат справедливы представления

Индивидуальная производная по параметру для первого из выражений (1.7.24) имеет вид

В правой части этой формулы каждый член является тензором 2-го ранга, значит. Н = НЦ + HJ, где

Если воспользоваться другими представлениями тензора из

(1.7.24), получим Н = Н2 + Н;, Н = Н{ + Н = Н4 + HJ, где

Тензоры Н, так же, как и тензоры Н*, j = 1.4, различны. Первые дают изменение тензора Т в фиксированном базисе подвижной системы (обобщение относительных производных вектора), а вторые характеризуют ту часть изменения, которая связана с движением этой же системы координат (обобщение переносной производной вектора). Выражения (1.7.25)- (1.7.30) дают различные разложения индивидуальной производной тензора на относительные и переносные производные.

Возьмём теперь представление тензора Т в базисе неподвижной системы координат:

В этом случае индивидуальные производные вычисляются по формулам

где

При выводе формул (1.7.32) использованы равенства вида

Поскольку локальные производные базисных векторов равны нулю (см. (1.7.10)), то формулы (1.7.32) можно записать в инвариантной форме

обобщающей формулу (1.7.21) для вектора.

Замечание 1.6. Если поле тензора однородно, то VT = 0 и индивидуальная производная совпадает с локальной.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ ОРИГИНАЛ   След >
 

Популярные страницы