ТЕНЗОРЫ И АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ НАД НИМИ

Напомним сначала, что скаляром называется величина, не зависящая от выбора системы координат и задаваемая в фиксированной координатной системе одним числом. Пусть в системе К скаляр определён числом / = f{xa), а в системе К — числом / = /(?"), тогда, согласно определению, f(xa) = /(?ст). Скалярами могут быть величины различной природы. Например, расстояние между точками пространства есть геометрический скаляр, а давление, плотность, температура и концентрация — физические скаляры.

Далее в качестве объектов будем рассматривать элементы координатных базисов еа и е*3 системы К, для которых выполняются следующие операции:

  • 1) умножение на скаляр V еа. , т. е. для некоторого скаляра q и объекта е„ символ qea означает вектор, направленный при q > 0 в ту же сторону, что и е„ (в противоположную при q < 0), и имеющий модуль |д||еа|;
  • 2) сложение определено для любой пары объектов е« + ед, е“ +е^, е« + е'3 и т. д. Операция сложения коммутативна и подчиняется дистрибутивному закону д(е„+ед) = q(ep+ea) = = qea + дед = дед + ge,*;
  • 3) для любой пары объектов определено скалярное умножение еа ? ед = дар, еа • е'3 = gaf). еа • е'3 = Scf. е“ • ед = 6ар. Операция коммутативна и д(еа ? ед) = (де„) • ед = е„ • (дед) для любого скаляра д;
  • 4) для произвольных двух объектов определено векторное умножение, являющееся вектором, который можно разложить по одному из координатных базисов системы К,

Операция не коммутативна, е„ х ед Ф ед х еа, однако скалярный множитель перед векторным произведением можно отнести к любому сомножителю;

5) индефинитное умножение. В результате применения этой операции к двум или нескольким (конечному числу)

объектов получается новый, более сложный объект, называемый полиадой, именно еае^, еае-3, еае13, е“е^, е„е^е7, еае;3е7е" и т. п. Полиада, полученная перемножением двух объектов, называется диадой; трёх элементов — триадой и т. д. Операция не коммутативна, т. е. е„ед ф Ъреа- Две по- лиады считаются равными тогда и только тогда, когда они получены перемножением одних и тех же объектов в одной и той же последовательности.

Количество объектов в полиаде, совпадающее с числом индексов, называется её рангом. Разные полиады одинакового ранга и определённой структуры, например е„е^е7 (а,/3,7 = 1,2,3), считаются линейно независимыми. Полиаду можно умножать на скалярный множитель и относить его к любому сомножителю.

Между полиадами первого ранга — элементами координатных базисов — имеются связи вида е“ = да^?р, еа = sweT (см. формулы (1.1.19), (1.1.22)). Аналогичные связи есть и между полиадами разных типов, но одинакового ранга. Действительно, = дааеаер, е'*ев = да1Теае еаер = егтетд(7адтр и т. д. Сложение определено для полиад только равных рангов; при скалярном (векторном) умножении полиад скалярно (векторно) перемножаются соседние элементы этих полиад, (е„ед) • (е7ед) = еа(ер • е7)е^ = gp7eaes, (еаер) х (e7es) = еа(вр х е7г = ереаеаеЙ. При индефинитном перемножении полиад получится новая полиада, ранг которой равен сумме рангов старых полиад, например, (е„е/з)(е7есг) = еаере7еа полиада четвёртого ранга.

Перейдём к рассмотрению других объектов, которые, подобно вектору перемещений, трактуются как инвариантные величины, не зависящие от выбора системы К. Одним из таких объектов является вектор.

Вектором называется объект, не зависящий от выбора системы координат и представимый в фиксированной системе ха в виде линейной формы

где аа, ар — контрвариантные и ковариантные компоненты вектора. Примеры векторов: скорость, ускорение, сила, объёмные плотности потоков, напряжённость электрического поля. Компоненты даются формулами (1.1.11), (1.1.12), а связь между ними — равенствами (1.1.16), (1.1.17). Итак, для задания вектора в некоторой системе координат достаточно задать три его компоненты определённого типа. При переходе к другой системе координат К компоненты вектора изменяются. Действительно, пусть аа и ат компоненты вектора в новой системе координат . Тогда из (1.1.45)

>

ИЛИ

Обратные зависимости имеют вид (с учётом формул (1.1.46))

Значит, ковариантные и контрвариантные компоненты вектора преобразуются по одноимённым законам. Это свойство вектора является характеристическим и полагается в основу другого его определения.

Вектором а называют объект, определённый в фиксированной системе координат тремя числами — компонентами аа (или ап), которые при переходе к новой системе координат в том же пространстве преобразуются по формулам (1.2.2).

Приведённые два определения эквивалентны друг другу. Уже было показано, как из первого определения можно получить второе. Обратно, имеем

что и даёт первое определение вектора.

Введём нормированные ковариантный и контрвариантный базисы

и рассмотрим разложение вектора по этим базисам

Величины «“ и а,д называют физическими компонентами соответственно первого и второго типа. Между ними имеется тесная связь. В самом деле,

Сравнивая последние соотношения с (1.2.5), найдём

В ортогональной системе координат разного типа физические компоненты совпадают: «* = а“.

Из компонент вектора а можно образовать одну инвариантную величину, называемую модулем вектора и обозначаемую просто «а» (иногда |а|). Для квадрата модуля

Ранее величины а|, |е^| были названы параметрами Ламе, обозначим их соответственно На и Яй:

С учётом обозначений (1.2.8) из (1.2.7) найдём другое представление для квадрата модуля

В частности, для ортогональной системы координат получим

Теперь рассмотрим объекты более сложной природы — тензоры.

(Иногда используется специальная операция диадного произведения 0 базисных векторов, например Tai2-"a,>ettl 0 ... • • • 0 ea, 0 ... 0 еа„.) Ясно, что для тензора ранга п справедливы различные представления, являющиеся его разложениями по полиадам ранга п определённого вида. Коэффициенты Г"1"2а2<*п,... ,Taia2.'.an называются компонентами тензора. Они бывают ковариантными, контрвариантными и смешанными, в зависимости от того, имеет ли компонента только нижние индексы или только верхние, или те и другие вместе. Всего имеется 3" компонент тензора ранга п.

Тензором ранга п называют объект Т, не зависящий от выбора системы координат и представимый в фиксированной координатной системе в виде линейной формы полиад ранга п определённой структуры:

Между компонентами тензора разного типа существуют связи. Действительно,

откуда

Точно так же получаются соотношения

Формулы (1.2.12), (1.2.13) выражают операции опускания и поднятия индекса — жонглирования индексами.

Для прямоугольной декартовой системы координат дар = = Яп/3 = и из (1.2.12), (1.2.13) выводим равенства

т. е. в этой системе положение индекса не существенно и поэтому нет различного типа компонент.

Итак, в фиксированной системе координат тензор ранга п определяется заданием его компонент конкретного типа. Конечно, эти компоненты зависят от выбранной системы координат. Установим зависимости между компонентами тензора в системах координат К(ха) и К(?а). Пусть в первой системе компоненты имеют вид Г, "2 ???"’*, а во второй — Т^2'"'ч,‘. В силу инвариантности тензора и законов преобразования базисных векторов получим

Отсюда, ввиду линейной независимости полиад ранга п определённой структуры, находим формулы преобразования компонент:

Обратные формулы получаются аналогичным способом:

Формулы (1.2.16), (1.2.17) показывают, что каждый кова- риантный или контрвариантный индекс компоненты тензора преобразуется по одноимённому закону. Кроме того, компоненты тензора в новых переменных есть линейные комбинации всех компонент в старых переменных. Поэтому тензор будет нулевым, если все его компоненты равны нулю в одной из систем координат. Теперь можно дать и другое определение.

Тензором ранга п называют объект, который в фиксированной системе координат определяется 3” числами — компонентами, преобразующимися при переходе к другой системе координат в том же пространстве по формулам (1.2.16).

Первое определение удобно использовать в тензорном анализе, а второе — в тензорной алгебре.

Формулы преобразования коэффициентов основной квадратичной формы

показывают их тензорную природу. Значит, совокупность девяти величин дар определяет тензор второго ранга

Он носит название метрического тензора.

Частные виды тензоров. При п = О, N = 1 (N = Зп

число компонент) получим тензор нулевого ранга — инвариантный объект, определяемый в некоторой системе координат одним числом. Это есть скаляр. При п = 1, N = 3 получаем тензор 1-го ранга — инвариантный объект Т = Таеа = Тцъ0, т. е. вектор. При п = 2, N = 9 имеем тензор второго ранга, для которого справедливы четыре различных представления

При п = 3, N = 27 — тензор третьего ранга и т. д. С ростом ранга быстро возрастает число компонент и число различных представлений тензора.

Введём, аналогично векторам, физические компоненты тензоров. Пусть (е^,..., е*п), (е“... ,е“") — нормированные элементы координатных базисов системы К. Тогда

Поскольку еа = Нае}х, = Я^е/, то из представлений (1.2.15) и (1.2.20) найдём связи физических компонент через обычные компоненты

Для ортогональной системы координат е" = еа и все физические компоненты различных типов совпадают.

Можно расширить понятие тензора следующим образом: распространим название тензора на объект Та"2-“п, который преобразуется по закону

отличающемуся от (1.2.16) только множителем .7м, где .7 = = д?,а /дха. Новое определение тензора включает в себя старое при М = 0. Объект, преобразующийся по закону (1.2.22), называется псевдотензором ранга п, а число М — его весом. Тензоры, рассматривавшиеся ранее, имеют нулевой вес и часто называются абсолютными, или истинными тензорами.

Псевдотензоры нулевого и первого ранга называют соответственно псевдоскалярами и псевдовекторами.

Отметим, что любому псевдотензору ранга п и веса М можно сопоставить истинный тензор. Действительно,

т. е. /Та"2"'°'п уже истинный тензор (использовано правило преобразования псевдоскаляра / = ,//, /м = JMfM).

Далее рассматриваются только истинные тензоры.

Операции с тензорами. Введём некоторые операции с тензорами, которые снова приводят к тензорам, при этом будем пользоваться вторым определением тензора.

Возьмём два тензора Р и Q одного и того же ранга п и сложим почленно формулы преобразования одинаковых компонент

приходим к равенству Оно означает, что объект

есть тензор ранга п (по второму определению). Данный тензор и называется суммой исходных тензоров, т. е.

Видно, что складывать можно только тензоры одинакового ранга и операция сложения коммутативна.

Пусть имеются два тензора: Р ранга р и Q ранга q, и их какие-либо компоненты, например

Перемножив эти формулы, придём к равенству

из которого следует, что объект

есть тензор ранга р + q, называемый произведением исходных тензоров, и записывают в виде

Таким образом, умножение тензоров определено для двух тензоров произвольных рангов, и ранг произведения равен сумме рангов сомножителей. Произведение тензоров существенно зависит от порядка сомножителей и оно, вообще говоря, не коммутативно: PQ ф QP В частности, если / — скаляр, то компонентами Т = будут Г**1 = fp<*i - ap_ Если перемножаются два вектора а и Ь, то получается тензор 2-го ранга

т.е. диада. Если перемножаются п векторов аь...,а„, получим тензор ранга гг

т. е. полиаду.

Свёртывание тензора. Пусть Т — тензор ранга п^2и одна из его смешанных компонент преобразуется по формуле

где oil • ? ? огп = 1,2,3. Возьмём теперь только те равенства, в которых индексы а и «2 одинаковы, и образуем их сумму:

так как {dxai/д?,а')(д?а'/дха2) — Saiao. Получили закон преобразования тензора ранга п — 2, который называется свёрткой тензора Т по двум индексам. Таким образом, операция свёртывания тензора Tf2--an по различного типа индексам (Ti, (т2 состоит в сопоставлении исходному тензору тензора TJ['-"an, ранг которого на две единицы ниже. Ясно, что можно образовывать несколько различных свёрток, важно только, чтобы один из индексов был верхним, а другой нижним. Операция свёртывания может быть повторена несколько раз, и тензору чётного ранга можно сопоставить тензор нулевого ранга, называемый инвариантом исходного тензора.

Заметим, что

т. е. если в свёртке поднимаем нижний индекс суммирования, то верхний индекс следует опустить.

Скалярное умножение тензоров. Скалярным произведением тензора Р ранга р и тензора Q ранга q является результат последовательного выполнения двух операций: 1) умножение Р на Q; 2) свёртывание произведения по последнему индексу первого сомножителя и по первому индексу второго. Другими словами, Т = Р Q и

причём гт = rp + pq - 2, где через rp, rp, rg обозначены ранги тензоров. Ясно, что степени тензора 2-го ранга снова являются тензором 2-го ранга: если Т = Т“еае^, то

Для полноты ряда (1.2.26) условно считают, что нулевая степень

совпадает с метрическим тензором.

Как уже отмечалось, свёртыванием можно получить инварианты. Из последовательности (1.2.26) найдём их:

Эта неограниченная последовательность инвариантов образована из компонент исходного тензора; они называются ещё

свёртками. Можно видеть, что J, ./г,... являются однородными функциями компонент и номер свёртки даёт порядок однородности. Далее будет показано, что есть только три функционально независимых инварианта, например Ji, ./2, ./3.

Симметрия и антисимметрия тензоров. После перестановки у компонент каких-либо двух верхних или двух нижних индексов, вообще говоря, получается другой тензор. Если после такой перестановки тензор не изменяется, то он называется симметричным. Если каждые две компоненты с переставленными индексами отличаются только знаком, то тензор — антисимметричный по этим индексам. Так, если тензор третьего ранга ТаР симметричен по а и 0, то ТаР 7 = Т^а 7. Если он антисимметричен, то Та>3 7 = -Tt3a 7. Компоненты антисимметричного тензора, в котором переставляемые индексы одинаковы, равны нулю: Таа = — Таа , откуда Таа =0. Тензор симметричен или антисимметричен по какой-либо группе одинаково расположенных индексов, если он является таковым по каждой паре индексов этой группы. Пусть, например, тензор 3-го ранга симметричен по верхним индексам, тогда Тату = Taf> уда(х9тр = Тва у9трдаа = Ттау - симметричен по нижним индексам. Значит, при определении симметрии тензора по двум индексам существенны номера этих индексов и не важно, расположены они оба вверху или оба внизу.

Свойство симметрии или антисимметрии является инвариантным, хотя компоненты тензора и зависят от выбора системы координат. В самом деле, например для тензора 3-го ранга, если 7 = Т&а 7, то

Аналогично доказывается инвариантность свойства антисимметричного тензора.

Симметрирование и альтернирование. Из компонент Тар тензора второго ранга образуем симметричный и антисимметричный Т[а)з] тензоры Тщу) = ('Та/3 + Тра)/2, Т[ар] = — (Тар -Тра)/2. Тензору третьего ранга Тару аналогичным способом можно сопоставить тензоры

из которых первый является симметричным, а второй — антисимметричным по всем трём индексам. Легко видеть, что симметричный тензор определяется как среднее арифметическое тензоров, получающихся из исходного путём всевозможных перестановок индексов; антисимметричный тензор есть среднее арифметическое тензоров, полученных всевозможными подстановками индексов у исходного тензора, причём в случае чётной подстановки берётся знак плюс, а в случае нечётной — минус.

Подобная операция применима к тензорам 4-го и более высоких рангов.

Операция сопоставления данному тензору тензора того же ранга, симметричного по некоторой группе одинаково расположенных индексов — симметрирование, а операция сопоставления данному тензору тензора того же ранга, антисимметричного по какой-либо группе индексов — альтернирование.

Теорема 1.1 (свойства двойной свёртки). Двойная свёртка тензора произвольного ранга, симметричного по свёртываемым индексам, с тензором произвольного ранга, антисимметричным по этим же индексам, равна нулю. Обратно: если равна нулю двойная свёртка двух тензоров произвольных рангов и если один из тензоров есть произвольный тензор, симметричный (антисимметричный) по свёртываемым индексам, то другой тензор антисимметричен (симметричен) по этим индексам.

Доказательство Пусть S. А — тензоры рангов а и а соответственно, свёртываются по двум первым индексам и

Тогда двойная свёртка симметричного тензора S и антисимметричного тензор А равна нулю. Действительно, в силу (1.2.29), (1.2.30)

Для доказательства обратного заметим, что из (1.2.31) для произвольного тензора S следуют равенства (1.2.30), выражающие антисимметричность тензора А.

Пусть теперь А — произвольный антисимметричный тензор и свёртка S и А равна нулю. Тогда

и в силу произвольности тензора А получим симметричность тензора S по свёртываемым индексам. Теорема доказана.

Эта теорема часто используется при различных преобразованиях тензорных выражений.

Теорема 1.2 (деления тензоров). Объект Т, задаваемый в системе координат ха с помощью 3" чисел — компонент Т"1—является тензором ранга п, если при умножении его на произвольный тензор S ранга т ^ п и свёртки по т индексам получается тензор Р ранга пт:

Доказательство Запишем равенство (1.2.32) в системе

К(?а):

откуда

Так как S — произвольный тензор, то компоненты

произвольные величины. Значит,

т. е. тензорный закон преобразования и объект Т суть тензор ранга п. Теорема доказана.

Данная теорема даёт критерий, устанавливающий тензорный характер объектов. Для иллюстрации рассмотрим основную квадратичную форму ds2 = gagdxadx^. В ней dxadxfiпроизвольный тензор 2-го ранга, ибо сами дифференциалы могут быть произвольными; величина ds2 — скаляр — тензор нулевого ранга. По теореме двухиндексный объект дар есть тензор 2-го ранга, названный выше метрическим тензором.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ ОРИГИНАЛ   След >