МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ

КРИВОЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ КООРДИНАТ. КОВАРИАНТНЫЕ И КОНТРВАРИАНТНЫЕ КООРДИНАТЫ ВЕКТОРА

Пусть имеется прямоугольная система координат в трёхмерном пространстве Я3. Обозначим через ка (а = 1,2,3) единичные орты в направлении координатной прямой уа, рис. 1.1. Орты k1.k2.k:j образуют базис, причём

Рис. 1.1

Прямоугольная система координат

где 8af) есть символ Кронекера. Радиус-вектор а любой точки М е R2 можно представить в виде

и о" = а ? к(1 — прямоугольные декартовы координаты вектора а.

Если оси координат уа не являются взаимно ортогональными, то вектор а можно задать двумя способами: представить в виде (1.1.2) (числами уа) или с помощью ортогональных проекций а на оси косоугольной системы, см. рис. 1.2.

Рис. 1.2

Косоугольная система координат

Пусть векторы еь е2, е:? (вообще говоря, различной длины) направлены по у1, у2, уя (рис. 1.2). Тогда для вектора а имеет место соотношение вида (1.1.2)

Числа а1, а2, а3 называются контрвариантными координатами вектора а. Рассмотрим скалярные произведения

Они представляют собой ортогональные проекции вектора а на оси уа и называются ковариантными координатами вектора а.

Условимся в дальнейшем считать, что когда один и тот же индекс встречается дважды один раз вверху, а другой раз внизу, то по нему происходит суммирование. Например

Индекс суммирования называют немым, что является аналогом свойства переменной интегрирования под знаком определённого интеграла. Вектор а в косоугольной системе координат определяется своими ковариантными аа и контрвариантными а° компонентами,

Рассмотрим криволинейную систему координат ха = 1,2,3) и зададим радиус-вектор г точки М в виде

или

Предполагается, что г(ха) дифференцируема по ха. Векторы дг/дха являются касательными к линиям ха, см. рис. 1.3. Значит, в каждой точке пространства М тройку векторов дт/дхп можно принять за векторы базиса, если они не

Рис. 1.3

Криволинейные координаты

компланарны:

По теореме о неявных функциях существует обратное преобразование формул (1.1.6)

так что матрицы дха/ду&, dys/дха — взаимно обратные и Введём обозначения

тогда еа образуют базис, связанный с криволинейной системой координат, — он называется локальным. Если ка — тройка единичных векторов, то

Задача 1.1. Найти матрицы дуР/дха, дха/ду@ и локальный базис е„ цилиндрической 1 = ж1 соях2, у2 = ж1 sin ж2, уЛ _ и сферической 1 = ж1 cos ж2 cos ж3, у'2 =

- х1 sin ж2 cos ж3, у3 = ж1 sin ж3) систем координат.

Таким образом, в каждой точке вектор а(ж123) может быть представлен в локальном базисе е,

где аа контрвариантные компоненты.

Ковариантные компоненты вектора а даются формулами

Это следует из равенств (1.1.4).

Введём матрицу д* = ад)-

Она является симметричной и носит название фундаментальной матрицы. Её определитель g = dot{gap) ф 0 (см. формулу (1.1.7)). Поэтому существует обратная к ней матрица gaf) (.9* = [<Гв)У-

где б? есть дельта Кронекера и Ниже gi = dct(gn-3) = 1 jg.

Формулы (1.1.12) и (1.1.13) дают связь ковариантных и контрвариантных компонент вектора а

Умножим обе части этого равенства на g'iy и возьмём сумму по /3. Используя (1.1.14), находим

т. е. соотношение, обратное к (1.1.16).

Замечание 1.1. Имеет место мнемоническое правило а? = = аа6ау. У компоненты аа надо просто заменить индекс, по которому происходит суммирование, на свободный индекс (по нему нет суммирования).

Скалярное произведение двух векторов теперь записывается четырьмя различными способами:

Возьмём тройку векторов е3, образованных по правилу

Умножая скалярно (1.1.19) на и е7 последовательно, получим

Например, вектор ех.1е2, е1-!^, но e^ei = 1. Формулы (1.1.20) называются соотношениями взаимности.

Ясно, что векторы е3 не компланарны. Действительно, смешанное произведение (е^е2, е3) = Vx1 • (Vx2 х Vx3) = 1/.7 ф ^0 в силу (1.1.14) (V.xa = (дха/ду1, дха/ду2, дха/ду3)).

Систему векторов е^е^е3 называют базисом, взаимным (или сопряжённым) с базисом ei,e2,e:?, см. рис. 1.4.

Рис. 1.4

Сопряжённые базисы

Задача 1.2. Вывести формулу

Для любого вектора а из (1.1.17) и определения (1.1.19) выводим разложения

Умножая скалярно (1.1.23) на е7, получим

Поэтому любой вектор а может быть разложен как по базису еа (в этом случае компоненты являются контрвариантными), так и по базису еа с ковариантными компонентами. В последней формуле (1.1.23) индекс /3 можно заменить на а. При этом

что и оправдывает название базиса е" как взаимного по отношению к базису е«.

Однако есть и существенная разница между этими базисами. Векторы еа связаны с системой координат и являются касательными к координатным линиям. Векторы е", вообще говоря, не являются касательными ни к каким координатным линиям. Соотношения (1.1.16), (1.1.17) показывают, что с помощью матриц да/з, дп3 можно опускать и поднимать индексы у компонент вектора — операция жонглирования индексами.

Для прямоугольной системы координат

Действительно, здесь ха = уа, радиус-вектор г = уак„ и е„ = = дг/дуа = к,,. По формулам (1.1.13), (1.1.14) дар = 8? = = да3 и из (1.1.19) получим е3 = ер.

Замечание 1.2. Сравнивая формулы (1.1.19) и (1.1.22) с формулами (1.1.16), (1.1.17), видим, что каждому нижнему индексу слева в (1.1.16) соответствуют коэффициенты из (1.1.19), а каждому верхнему — из (1.1.22). По нижнему индексу вектор сопреобразуется (является ковариантным) с системой координат, по верхнему — противопреобразуется (является контрвариантным) с ней. Термины «ковариантный» и «контрвариантный» как раз и означают «сопреобразующийся» и «противопреобразующийся».

Замечание 1.3. С помощью элементов матрицы д* легко найдём модули векторов ковариантного базиса

Эти модули носят название коэффициентов Ламе. Аналогично, для модулей контрвариантного базиса получим

Задача 1.3. Найти |е„|, |еа| для цилиндрической и сферической систем координат, см. задачу 1.1.

Пусть имеются две точки пространства М и М' с координатами ха, ха + dxa соответственно. Тогда малый вектор ММ' = dr определяет направленный отрезок, не зависящий от выбора системы координат, и называется вектором элементарного перемещения. Расстояние между точками М и М' есть ds = |dr|. Для dr из (1.1.5) и (1.1.9) имеем выражение

т. е. разложение по ковариантному базису. Величины dxa, равные дифференциалам локальных координат, суть контрвариантные компоненты вектора dr. Ясно, что

где drа — eadxa векторы элементарного перемещения вдоль координатной линии ха, см. рис. 1.5.

С помощью представления (1.1.29) получим

Квадратичная форма (1.1.31) называется основной квадратичной формой.

Аналогично формуле (1.1.29) можно представить вектор элементарных перемещений в виде разложения по контрвариантному базису

где величины 6х@ называются ковариантными компонентами этого вектора и, вообще говоря, не являются дифференциалами некоторой системы координат хр. Из (1.1.32) для ds2 найдём

Рис. 1.5

Вектор элементарных перемещений

Установим связь между различными компонентами вектора dr. Из (1.1.29) и (1.1.32) имеем dr = dxaea = Sxpe13 и перепишем это равенство с помощью формул (1.1.19) так: (dxaSxpgPa)ea = 0. В силу линейной независимости векторов еа получим формулы, дающие выражения контрвариантных компонент вектора dr через его ковариантные компоненты:

Обратные зависимости таковы (достаточно воспользоваться формулой (1.1.22)):

Соотношения (1.1.34), (1.1.35) можно трактовать также как операции поднятия и опускания индекса у компонент вектора dr. Кроме того, из (1.1.35) следует, что ковариантные компоненты 8хр нельзя рассматривать как полные дифференциалы соответствующих функций хр = хр(ха), поскольку условия интегрируемости

не выполняются в общем случае. Значит, для произвольной криволинейной системы координат невозможно определить ко- вариантные координаты хр как однозначные функции от ха.

Задача 1.4. Проверьте, выполняются ли условия (1.1.36) для цилиндрической и сферической систем координат.

Система координат ха называется ортогональной, если в каждой точке пространства координатные линии взаимно ортогональны, т. е.

В этом случае матрица 9* = diag(.9n, 922,933) и её определитель у = .9n.922.933- Матрица у* является обратной к .9», т. е. .9* = diag^j1,у22 ,9зз ) и .91 = dct.9* = (911,922,93s)-1- Следовательно, в такой системе координат

и координатные поверхности также ортогональны. Далее, формулы (1.1.22) и (1.1.19) упрощаются

т. е. элементы разных базисов параллельны друг другу (имеющие одинаковый номер) и их модули взаимно обратны

Координаты точек М пространства, координатные линии, векторные базисы и связанные с ними величины зависят от выбора системы координат. Посмотрим, как преобразуются эти величины при переходе к другой системе координат. Для этого возьмём две системы координат: К и К. Пусть в системе

К координатами являются ха, а в К — ?а (а, а = 1,2,3) и переход задаётся системой функций

причём

Тогда существует обратное преобразование и справедливо соотношение

Посмотрим, как преобразуются базисы е„, е*3 системы К ие„, е‘ системы К. По определению

или

Обратные зависимости таковы:

Первые формулы (1.1.45), (1.1.46) дают закон преобразования элементов ковариантного базиса при переходе от одной системы координат к другой, а вторые формулы — контрвариантного базиса. Их и называют ковариантными и контрвариантными законами преобразования.

Что касается коэффициентов основной квадратичной формы (1.1.31), (1.1.33), то они преобразуются так:

Использованы равенства (1.1.45), (1.1.46). Обратные зависимости имеют вид

Заметим, что законы преобразования либо ковариантные (индексы внизу), либо контрвариантные (индексы вверху). Для определителей из (1.1.42), (1.1.47), (1.1.48) получим

где J даётся равенством (1.1.42).

Найдём, наконец, закон преобразования компонент вектора элементарного перемещения dr. Из выражений (1.1.29), (1.1.32) имеем представления

Используя формулы (1.1.46), из этих соотношений выводим или, так как ег, еа базисы,

Для обратных зависимостей найдём

Значит, ковариантные компоненты вектора dr преобразуются по ковариантному закону, контрвариантные компоненты — по контрвариантному.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ ОРИГИНАЛ   След >