ГЛАДКИЕ МНОГООБРАЗИЯ И ОТОБРАЖЕНИЯ

ГЛАДКИЕ МНОГООБРАЗИЯ

1. Пусть Мп и Rm — числовые пространства, a U и V — открытые множества в М" и Rm соответственно, (ж*) е U (г = = 1 ,п), а) V (а = 1 , га).

Отображение / : UV называется дифференцируемым класса Ск или гладким класса Ск = 0.1,2,...), если вещественные функции уа вещественных аргументов хг

задающие отображение /, непрерывны и имеют все непрерывные частные производные

до порядка к включительно.

2. Напомним, что хаусдорфово (отделимое) топологическое пространство со счетной базой называется n-мерным многообразием М, если у каждой его точки существует окрестность, гомеоморфная некоторой области в Rn. Это означает, что на М существует атлас А, состоящий из карт {U,tp), где U — открытое связное множество в М — область определения карты (координатная окрестность), а р - гомеоморфизм U на область С Мп. Если рU, то <р(р) = (хг) — координаты точки р, поэтому называют системой координат. Говорят также, что (ж*) — локальные координаты на М.

3. Пусть М — n-мерное многообразие и А — атлас, задающий структуру многообразия на М. Карты (U.p) и (V, ф) атласа А называются (^-согласованными, если либо их области не пересекаются U П V = 0, либо если пересекаются, то взаимно-обратные гомеоморфизмы

областей из R" являются дифференцируемыми класса Ск. Если рUCW и (.т!) = <р(р) — координаты точки р относительно системы координат tp в U, а г) = ф(р) — координаты той же точки р относительно системы координат ф в V, то <роф~1 и фор~1 задаются системами уравнений

которые называются формулами преобразования координат.

Атлас А, состоящий из (^-согласованных карт, называется гладким класса Ск.

Два атласа класса Ск называются эквивалентными, если объединение карт этих атласов является также атласом класса Ск.

Всякий гладкий атлас А задает на М гладкую (дифференцируемую) структуру. При этом считается, что эквивалентные атласы задают одну и ту же гладкую структуру.

Многообразие М называется гладким или дифференцируемым класса Ск, если на М задана некоторая гладкая структура класса Ск.

Как правило, в локальной дифференциальной геометрии не налагается каких-либо условий на класс гладкости многообразия М, считая его гладким класса С00.

Таким образом, для гладкого многообразия М функции преобразования координат (1.1) и (1.2) являются функциями класса С°° во всех точках области их определения.

Числовое пространство К” является гладким п-мерным многообразием с естественной гладкой структурой, определяемой атласом, состоящим из одной карты 11, id). Очевидно, что всякое открытое множество G в R" также является «-мерным гладким многообразием. Заметим, что в силу обратимости систем уравнений (1.1) и (1.2) их якобиевы матрицы

1-/

и являются взаимно-обратными и, следовательно, невырожденными.

Замечание 1. Обычно под гладкой структурой на М понимается максимальный атлас, т. е. такой атлас, что каждая карта на М, гладко согласованная с любой картой атласа, принадлежит этому атласу (такая карта называется допустимой). Однако, если задан некоторый гладкий атлас, то добавляя в него все допустимые карты, мы получим максимальный атлас. Поэтому, для задания гладкой структуры на М достаточно задать некоторый гладкий атлас, а говоря о карте гладкой структуры, мы всегда будем считать, что она является допустимой.

Замечание 2. Пусть (х‘) — локальные координаты на М и (ж* ) — некоторый набор п переменных, а координаты (ж!) являются гладкими функциями этих переменных и определитель матрицы Якоби отличен от нуля в некоторой

точке. Тогда, в силу теоремы о неявных функциях, существует окрестность этой точки, в которой уравнения (1.1) разрешимы относительно {х/), т. е. имеет место (1.2) и функции (1.2) гладкие. Следовательно, (ж* ) являются координатами в этой окрестности (локальными координатами на М). Точки, в которых якобиан равен нулю, называются особыми точками системы координат (хг ).

Замечание 3. Если каждой точке рМ поставить в соответствие ее г-ю координаты хг, то получим п гладких функций х1(р),... ,хп(р), которые называются координатными функциями системы координат (жг). [1] [2] [3]

(V./ф) на Лг таких, что /([/) С V отображение ф о / о <^-1 является гладким отображением области ip{U) из R” в Rm. Если (хг) (г = 1, гг) — координаты в U, (уа) (а = 1 ,т) — координаты в V, то уравнения

являются локальной записью отображения /. Это определение корректно, так как замена одних локальных координат другими осуществляется гладкими функциями.

Гладкие в обе стороны гомеоморфизмы гладких многообразий называются диффеоморфизмами. Если существует диффеоморфизм М на N, то многообразия М и N называются диффеоморфными. Такие многообразия имеют одинаковую размерность.

5. Гладкое отображение / : М R называют гладкой функцией на М. Ее координатная запись имеет вид

Множество -F(M) всех гладких функций на М является алгеброй над R. Операции сложения функций, умножение на число и умножение функций вводятся, как обычно, поточечно. Очевидно, что эта алгебра ассоциативна, коммутативна, с единицей и является бесконечномерной.

Гладкое отображение с : I -ь М, где I = (а, Ь) — открытый интервал числовой прямой R, называется гладкой параметризованной кривой на М.

Пусть р € М и с — гадкая кривая на М, проходящая через точку р (т.е. ре с{1)), и

— параметрические уравнения этой кривой в координатной окрестности точки р. Так как кривая с проходит через точку р, то при некотором to xfa = являются координатами

точки р. Пусть 7 : хг = д{(т) — любая другая гладкая кривая, проходящая через точку р, т. е. при некотором т0 д‘{то) = = xfc. Если т. е. производные функций д‘(т) и

I Т0 I t0

/*(<), вычисленные в точке р, совпадают, то будем считать, что кривые 7 и с имеют один и тот же касательный вектор v в точке р, а п чисел vl = ^jj- назовем координатами вектора

v относительно системы координат (:гг).

Множество касательных векторов к всевозможным кривым, проходящим через точку р, называется касательным пространством ТРМ многообразия М в точке р. Оно, очевидно, является n-мерным векторным пространством. Векторы, касательные к координатным линиям системы координат (ж*), обозначим через д-i = д/дх{. Они образуют естественный базис в ТРМ п чисел vl = &jL. являются координатами вектора v в данном базисе:

При замене координат (ж*) на (х*’) имеем

и

Формулы (1.7) называют формулами перехода от одного естественного базиса к другому, а (1.8) — это формулы преобразования координат касательного вектора.

Векторное пространство Т*М, дуальное пространству ТРМ, называется кокасательным пространством многообразия М в точке р. Оно состоит из линейных форм

где dxi дифференциалы координатных функций xL), образующие естественный базис в Т*М, дуальный базису dj в ТРМ:

В частности, если / гладкая функция на М, то ее дифференциал

вычисленный в точке р, является линейной формой из Т*М. При замене координат, очевидно, имеем

и

Формулы (1.12) — это формулы перехода от базиса dx* к dxl , а (1.13) — это формулы преобразования координат формы и е

е т;м.

Касательное пространство ТРМ часто называют пространством производных или пространством скоростей, а кокаса- тельное пространство Т*М — пространством дифференциалов или пространством импульсов точки р.

6. Пусть опять / : МЛг - гладкое отображение М в N. Оно индуцирует линейное отображение /, : ТРМTqN (q = f{p)) соответствующих касательных пространств следующим образом. Если v = vldiТРМ, w = wadaT4N и W = /,(v), TO

Отображение /* называют продолжением отображения / на касательное пространство. Если матрица ||^?г имеет максимальный ранг, то отображение / называется регулярным.

Отображение / индуцирует также отображение /* : T*NТ*М кокасательных пространств. Если ^ = &dxг € € т;м, 71 = T)adyat;n и е = /*(»?), то

Заметим, что если / — диффеоморфизм, то /» и /* являются изоморфизмами соответствующих векторных пространств.

  • [1] Пусть М и N — гладкие многообразия, dimM =
  • [2] = п, dimA^ = m. Отображение / : М -> N называется глад
  • [3] ким, если для каждой карты (U,
 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ ОРИГИНАЛ   След >