Меню
Главная
Авторизация/Регистрация
 
Главная arrow Техника arrow Антенны

16.2. ФРАКТАЛЬНЫЕ АНТЕННЫ

16.2.1. Методы фрактального анализа излучателей

В последние годы прошлого столетия усилия многих ученых были направлены на исследования в области фрактальной геометрии и ее применению в различных областях физики, радиофизики, антенной техники. Результаты этих исследований были основаны на фрактальной геометрии [19]—[25]. Например, введение фракталов при решении задач антенной техники [26]—[29] обеспечило следующие пути их исследования: изучение самих фрактальных элементов антенны и использование фракталов в разработке антенных решеток.

Фрактальные антенны — относительно новый класс электрически малых антенн (ЭМА), принципиально отличающийся своей геометрией от известных решений. По сути, традиционная эволюция антенн базировалась на евклидовой геометрии, оперирующей объектами целочисленной размерности (линия, круг, эллипс, параболоид и т. п.). Главное отличие фрактальных геометрических форм — их дробная размерность, что внешне проявляется в рекурсивном повторении в возрастающем либо уменьшаемом масштабах исходных детерминированных или случайных шаблонов. В результате имитационного моделирования и экспериментов установлено, что фрактальные антенны позволяют получить практически тот же коэффициент усиления, что и обычные, но при меньших габаритах, что важно для мобильных приложений.

Термин фрактал (отлат. f rangere — ломать и f ractus — дробный) был введен в 1975 г. Бенуа Б. Мандельбротом и основан на теории фрактальной (дробной) размерности Хаусдорфа [10], предложенной в 1919 г.

Фракталы можно подразделить на детерминированные (созданные с помощью детерминированных правил), случайные (созданные с помощью комбинации порождающих правил, выбранных наугад в разных масштабах) [25], а также полученные методами детерминированного хаоса. Во фрактальной статистике говорят о фрактальных распределениях (Парето, Леви и т. д.).

Идеи Мандельброта послужили также началом систематического изучения фракталов в различных прикладных задачах. Сегодня известны применения фракталов в теории электромагнитного поля, обнаружении малоконтрастных (скрытых) целей в радиолокации и теории антенн. Фрактальные модели обычно строятся на основе различных математических алгоритмов с использованием современной компьютерной графики [21], [22]. Рассмотрим наиболее известные классические фрактальные функции. Приведем формальные определения для таких топологических понятий, как, например, «линия».

Определение Урысона. Линия — одномерный континуум (связанное компактное метрическое пространство С, каждая точка которого обладает сколь угодно малой окрестностью с границей размерности нуль), т. е. для У а > 0 пространство С может быть представлено в виде суммы конечного числа множеств диаметра меньшего а, при этом никакие три из этих множеств не имеют общей точки. На сегодняшний день определение линии Урысона является наиболее общим. Этому определению удовлетворяют привычные кривые, канторовы множества, а также универсальная кривая Менгена и др.

Определение Кантора. Канторовской кривой на плоскости называется континуум, в окрестности каждой точки которого имеются точки плоскости, не принадлежащие континууму.

Это определение линии на плоскости было дано Кантором в 1870 г. и является обобщением предыдущего. Под это определение подпадает такой класс линий, как ковер Сер- пинского, который может быть получен как непрерывный образ отрезка. Примером непрерывной функции, которая не имеет ни в одной точке ни конечной, ни бесконечной односторонней производной, является функция Безикови- ча [7]. Для построения данной функции существует эффективный итерационный процесс, состоящий из следующих этапов. На первом этапе строится отрезок длиной 2а на прямой. Далее, так как функция симметрична относительно точки а, необходимо провести ее построение на интервале (0, а). Затем в центральной части этого интервала строится отрезок длиной 1Х = а/4. Интервал (0, а) делится отрезком Zx на две равные части, а в центре каждого из них располагаются соответственно новые отрезки 13 = а/24. Таким образом, получаем четыре равных интервала, в середине которых размещаются отрезки длиной 13 = а/26 и т. д. Общее выражение для длины отрезка на г-й итерации Z, = а/23'. В итоге на отрезке ОС построено бесконечное множество отрезков Zj, Z2, Z3,..., объединение которых L — всюду плотное множество с суммарной длиной а/2. В итоге получаем функцию Безиковича, график которой приведен для первых четырех итераций на рисунке 16.9. Непрерывная функция, построенная таким образом, не имеет ни в одной точке ни правой, ни левой производной.

Построение начинается с выбрасывания средней трети отрезка, т. е. из исходного множества [-1, 1] удаляется открытый интервал [-1/3, 1/3]. На следующем и всех последующих шагах удаляем среднюю треть всех отрезков текущего уровня. По приведенной процедуре легко построить итерационную процедуру. Другими словами, части множества подобны целому множеству. Это свойство самоподобия называют также масштабной инвариантностью, или скейлингом. Построение, аналогичное проведенному выше, можно проделать, осуществляя деление отрезка не на три, а на большее число частей п. Длина выброшенной части отрезка по-прежнему равна единице,

Рис. 16.9

График функции Безиковича:

а — первая итерация; б — вторая итерация; в — третья итерация; г — четвертая итерация.

а остающееся множество не содержит ни одного целого интервала. Свойство самоподобия сохраняется.

Про все такие множества говорят, что они обладают канторовой структурой.

Двумерным аналогом функции Кантора является ковер Серпинского [22]. Рассмотрим вначале этапы построения треугольного ковра Серпинского. Пусть Т — заданный правильный треугольник, А, В, С — его вершины: левая, верхняя и правая. Соединяя середины сторон треугольника, можно получить четыре новых правильных треугольника, три из которых — Т0, Тх, Т2, содержат вершины А, В, С, расположенные параллельно Т, и четвертый треугольник U находится в центре треугольника Т; исключаем внутреннюю область треугольника U.

Если произвести над каждым треугольником Т0, Тх, Т2 те же операции как и для треугольника, то получим девять треугольников, расположенных параллельно треугольнику Т. На п-м шаге имеем Т. х , Т, ?, , Т. х , Т. х — новые треугольники. На рисунке 16.10 приведен ковер Серпинского при п = 10.

Рис. 16.10

Треугольный ковер Серпинского

Рис. 16.11

Этапы построения ковра Серпинского

Аналогично можно построить прямоугольный ковер Серпинского, представленный на рисунке 16.11. Берем квадрат со стороной, равной единице. На первом шаге делим его на 9 равных квадратов (со стороной 1/3), и все внутренние точки центрального квадрата удаляем (на рис. 16.11 эта часть выделена черным цветом). На втором шаге также поступаем с оставшимися 8 квадратами, причем возникают уже 64 квадрата (со стороной 1/9). Далее процесс повторяем на все более и более мелких масштабах. Оставшееся множество точек называется ковром Серпинского.

Отметим, что до сих пор рассматривалось построение фрактала с помощью какого-либо детерминированного алгоритма, однако может использоваться и вероятностный алгоритм. При этом свойство самоподобия у таких фракталов сохраняется «в среднем», т. е. после серии реализаций или серии масштабных преобразований.

Рассмотрим общий метод получения аналогичных отображений. В отличие от рассмотренных ранее нелинейных точечных отображений, рассмотрим теперь системы линейных функций (отображений), задающих аффинные преобразования плоскости. Каждое из преобразований Т, системы можно записать в виде ТДх) =А,(*) + bh где

Здесь матрица А осуществляет масштабирование исходного множества, а вектор b — сдвиг. Отображения должны быть сжимающими: s, = detAf < 1.

Систему функций получим, рассматривая совместно набор п отображений Т = {Тг, Т2, ..., Т„}.

Алгоритм действия отображения Т состоит в следующем. Задается некоторое компактное начальное множество точек Е0 на плоскости. Первое применение Т к этому множеству (т. е. первая итерация) дает множество

т. е. каждое из отображений Т, должно быть применено к исходному множеству, а затем требуется объединить получившиеся множества. Следующие итерации можно записать в виде:

Системой итерированных функций (СИФ) называется совокупность отображений Т,, описываемая (2.1)-(2.3) согласно приведенной итерационной схеме.

В качестве примера рассмотрим систему из отображений для салфетки Серпинского (Е0 — треугольник с вершинами (0, 0), (1, 0), (1/2, /3 /2),

Каждое из этих отображений — сжимающее, со степенью сжатия s = 1/4.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ ОРИГИНАЛ   След >
 

Популярные страницы