Энергия электронов в периодическом поле кристаллов

Рассмотрим движение электрона в периодическом поле кристалла, образованном атомами кристаллической решетки (см. рис. 3.5). Вероятность обнаружить электрон в данном месте кристалла есть периодическая функция координаты х, так как положения электрона, отличающиеся друг от друга на величину, кратную постоянной решетки а, являются одинаково вероятными. Различия имеют лишь места в точках внутри периода а. Это означает, что амплитуда волновой функции ЧДх) электрона, движущегося в периодическом поле кристалла, не остается постоянной, как у свободного электрона, а модулирована с периодом, равным постоянной кристаллической решетки а.

Обозначая эту амплитуду через и(х), получим для волновой функции электрона, движущегося в периодическом поле кристалла в положительном и отрицательном направлении оси х следующие соотношения:

При этом имеет место равенство (У(х ± ап) = 1/(х), где п — любое целое число. Функции типа (3.5) называются функциями Блоха [7, 8]. Конкретный вид этих функций зависит от вида потенциальной энергии и(х), определяющей взаимодействие рассматриваемого электрона с периодическим полем кристалла и входящей в соответствующее уравнение Шрёдингера

Соответственно этому изменится закон дисперсии для электрона, движущегося в периодическом поле кристалла. Данное уравнение должно учитывать зонный характер энергетического спектра электронов и периодичность зависимости спектра от волнового вектора к.

Для одномерного кристалла с межатомным расстоянием, равным а, закон дисперсии можно записать в виде

где Е.л — энергия атомного уровня, из которого образовалась данная зона; с — энергетический сдвиг этого уровня под действием поля соседних атомов; А — так называемый обменный интеграл, обусловленный возможностью электрона переходить от одного атома к другому.

Для .v-уровней As < 0, для /»-уровней Ар > 0. При этом

• для S-30H

• для/»-зон

где Esa, Ера — энергии s- и /»-состояний атомных уровней для свободных электронов; су, ср — энергетические сдвиги .у- и /»- энергетических уровней из-за влияния полей соседних атомов; As, Ар — абсолютные значения обменных интегралов для этих состояний.

На рис. 3.7 показаны дисперсионные кривые Е(к) для .у- ир-зон, построенные по уравнениям (3.6) и (3.7). Для .y-состояния Es(k) при к = 0 принимает минимальное значение Esmin = Es - 2AS, где Es = Esa + cs. С ростом волнового числа к величина Es(k) растет, достигая максимума Es max = Es + 2AS при к = ±п/а. Ширина разрешенной зоны находится как

Эта величина определяется значением обменного интеграла, зависящего от степени перекрытия волновых функций валентных электронов соседних атомов. Дисперсионная кривая Es(k) имеет вид колокола, обращенного выпуклостью вниз.

Для /»-состояний Ер mjn = Ер - р минимальное значение находится при к = ±п/а, а Ер тах = Ер + 2Ар при к = 0.

Ширина разрешенной /»-зоны равна АЕр = Ер тах - Ер min = 4Ар. Чем выше располагается атомный уровень (d/-, g-, h- и т. д.) валентных электронов, тем сильнее перекрываются волновые функции этих электронов, больше обменный интеграл и шире энергетическая зона, образованная из данного уровня.

Области значений волнового вектора к, в пределах которых энергия электрона Е(к) как периодическая функция волнового числа к испытывает полный цикл своего изменения, называют зонами Бриллюэна.

Энергетическая схема л- и р-зон электронов в периодическом поле кристалла

Рис. 3.7. Энергетическая схема л- и р-зон электронов в периодическом поле кристалла: Ех в, Ер в, Е, с, Ер о — энергия у потолка и дна зон соответственно

Для одномерного кристалла первая зона Бриллюэна находится в пределах от к = -п/а до к = п/а.

Если вблизи экстремумов дисперсионной кривой Е(к), т. е. вблизи точек к = 0; ±^/, разложить функцию eos ка по степеням

ка и ограничиться двумя членами разложения, то будем иметь

Тогда из соотношений

(3.6), (3.7) для s- и />-зон получим следующие результаты:

При этом минимум дисперсионной кривой Е(к) для любой зоны называется ее дном, а максимум Е(к) потолком зоны. Значения энергий вблизи дна или потолка каждой зоны можно записать в виде

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ ОРИГИНАЛ   След >