Энергетический спектр электронов в кристалле. Зависимость энергии электронов от волнового вектора (закон дисперсии)

Важной задачей теории твердого тела является определение энергетического спектра электронов в кристалле. Движение электрона в кристалле вдоль оси х можно описать уравнением Шрёдингера

где Е — полная энергия электрона; И — его потенциальная энергия; т — масса электрона; ЧДг) — волновая функция, описывающая состояние электрона в потенциальном поле и (г).

Энергию и обобществленных электронов в решетке можно представить в виде

где {7о — потенциальная энергия электрона в изолированном атоме; 5и — поправочный член, учитывающий силовое влияние соседних атомов решетки.

Для кристалла потенциальная энергия и0 является периодической функцией с периодом, равным периоду решетки (рис. 3.5). Если в формуле (3.1) пренебречь поправочным членом 8(7, т. е. рассматривать так называемое нулевое приближение, то в качест-

Периодический характер изменения потенциальной энергии электрона в поле ядер линейного кристалла (цепочки атомов) с постоянной решетки а

Рис. 3.5. Периодический характер изменения потенциальной энергии электрона в поле ядер линейного кристалла (цепочки атомов) с постоянной решетки а

ве волновой функции и энергии электрона в кристалле следует взять их значения ППа и Ея(п, (:) в изолированном атоме.

Различие между кристаллом и отдельным атомом состоит в том, что энергетический уровень атома Е.л(п, ?) в кристалле оказывается /'/-кратно вырожденным. Такое вырождение называют перестановочным.

Влияние поправочного члена 5(7 сказывается по мере сближения изолированных атомов, в результате чего каждый невырожденный уровень Еа(п, ?) расщепляется на N близко расположенных друг к другу подуровней, образующих энергетическую зону.

Если некий энергетический уровень электрона имел в изолированном атоме (2? + 1 )-кратное вырождение, то соответствующая ему энергетическая зона будет состоять из N(21 + 1) подуровней. Так, .у-уровень одного электрона в кристалле дает .у-зону, состоящую из N подуровней, в которых можно разместить 27/ электронов; /^-уровень формирует /»-зону, состоящую из ЗТУ подуровней и вмещающую уже электронов, и т. д. Таким образом, энергетический спектр электронов в кристалле распадается на ряд зон.

Расстояние между подуровнями в зоне кристалла очень мало. В кристалле объемом 1 м3 содержится 1028 атомов. При ширине энергетической зоны, например, в 1 эВ расстояние между сосед-

_Л о

ними подуровнями составляет ~10 эВ, поэтому подобные энергетические зоны можно считать непрерывными.

Наибольшее влияние слагаемое 56/ потенциального поля в формуле (3.1) оказывает на внешние валентные электроны атомов. Энергетические зоны, образованные этими электронами, оказываются наиболее широкими. Вну тренние электроны, прочно связанные с ядром, слабо возмущаются полем решетки, вследствие чего их энергетические уровни расширяются незначительно.

На рис. 3.6 показано образование энергетических зон при расщеплении дискретных атомных уровней (г — расстояние между атомами) [6]. Каждому энергетическому уровню электрона изолированного атома в кристалле соответствует зона разрешенных энергий. Ширина каждой зоны зависит от л — главного квантового числа уровня: чем это число больше, тем шире соответствующая зона.

Зоны разрешенных энергий разделены областями — запрещенными зонами Е%. Таким образом, с увеличением энергии электрона изолированного атома ширина разрешенной зоны в кристалле увеличивается, а ширина запрещенной зоны уменьшается.

Схема расщепления подуровней 15, 2.?, 2р на энергетические зоны под влиянием периодического поля решетки кристалла

Рис. 3.6. Схема расщепления подуровней 15, 2.?, 2р на энергетические зоны под влиянием периодического поля решетки кристалла

Определим зависимость энергии электронов Е от импульса р внутри каждой зоны, т. е. вид функции Е(р). Зависимость Е(р) называют законом дисперсии или дисперсионным соотношением.

Для вывода закона дисперсии рассмотрим простейший случай движения свободных электронов вдоль направления х. Уравнение Шрёдингера для координатной волновой функции есть

где — кинетическая энергия свободного электрона.

Согласно соотношению де Бройля импульс электрона можно представить в виде

где — волновое число, а волновой вектор к определяет направление распространения волны; X — длина волны электрона. С учетом выражения (3.3) энергия электрона равна

Формула (3.4) представляет собой закон дисперсии для свободных электронов.

Решением уравнения (3.2) является плоская волна, бегущая в двух направлениях

где А — амплитуда волны, квадрат которой равен квадрату модуля волновой функции электрона |Ч'Ч/*| и представляет собой плотность вероятности обнаружить электрон в данной области пространства.

Для свободного электрона плотность вероятности не зависит от координаты электрона. Это означает, что для свободного электрона все точки пространства эквивалентны, а вероятность обнаружить его в любой точке этого пространства одинакова и постоянна во времени.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ ОРИГИНАЛ   След >