Меню
Главная
Авторизация/Регистрация
 
Главная arrow Физика arrow Физика конденсированного состояния

Глава 3 Зонная теория твердых тел

3.1. Энергетические уровни свободных атомов. Обобществление электронов в кристаллах

Теория свободных электронов не в состоянии объяснить некоторые свойства твердых тел, зависящие от их структуры, такие как теплопроводность, электропроводность, деление тел на проводники, полупроводники, изоляторы (диэлектрики). Ответ на эти вопросы дает зонная теория твердых тел.

Состояние электрона в атоме любого химического элемента определяется четырьмя квантовыми числами: главным п, орбитальным ?, магнитным т и спиновым а.

Для атома водорода главное квантовое число п определяет энергию атома в стационарном состоянии Е(п):

где /? = 13,6 эВ — энергия ионизации водорода.

Орбитальное квантовое число ? определяет орбитальный момент импульса электрона

где ? = 0, 1,2,..., (п — 1) — всего п значений.

Магнитное квантовое число т определяет ориентацию орбитального момента импульса электрона относительно избранного направления, например направление вектора напряженности внешнего магнитного поля Н (рис. 3.1).

Проекции орбитального момента импульса электрона Мда на направление внешнего магнитного ноля Н в зависимости от магнитного квантового числа

Рис. 3.1. Проекции орбитального момента импульса электрона Мда на направление внешнего магнитного ноля Н в зависимости от магнитного квантового числа

Вектор может ориентироваться относительно направления Н лишь так, что его проекция на это направление цельнократна постоянной Планка 1г:

где П1( пробегает следующий ряд дискретных значений: гп{ = —?, -{? - 1),..., О, 1,2,..., (?- 1), ?, т. е. всего (2? + 1) значение.

Спиновое число о определяет ориентацию собственного момента импульса электрона (спина электрона .?) относительно избранного направления II (рис. 3.2). Вектор спина .? может ориенти-

Проекции спина электрона л на выделенное направление внешнего магнитного ноля Н в зависимости от спинового числа

Рис. 3.2. Проекции спина электрона л: на выделенное направление внешнего магнитного ноля Н в зависимости от спинового числа

роваться относительно Н лишь таким образом, что его проекция на направление внешнего магнитного поля равна %= oh, где

В квантовой механике состояние атома любого химического элемента определяется состояниями электронов его внешних (валентных) оболочек и электронной конфигурацией.

Квантовые состояния электрона, для которых орбитальное квантовое число ? = 0 при любых других возможных квантовых числах, называются .v-состояниями; состояния с I = 1 — /»-состояниями; состояния с ? = 2 — ?/-состояниями; состояния с ? = 3 —^состояниями и т. д.

В отличие от атома водорода, энергия электронов в многоэлектронных атомах Е = Е(п, ?) зависит от чисел п и ?.

Поскольку каждое из квантовых чисел п и ? принимает дискретный ряд значений, энергетический спектр электронов в атомах химических элементов также дискретен. Он состоит из ряда энергетических уровней Е(п, ?) свободных атомов запрещенных энергий.

В таблице далее приведены характеристики состояний s, р, d электронной системы для уровней п = 1, 2, 3. Как видно из этой таблицы, .v-уровни электронов невырождены.

Уровни /»-состояний трехкратно вырождены: каждому из них отвечают 3 состояния, которые отличаются друг от друга значением магнитного квантового числа т(. При ? = 1 (/»-состояние) т( = -1,0, 1. Поскольку в каждом состоянии может находиться два электрона с противоположной ориентацией спина, для полного комплектования /»-состояния требуется 6 электронов (см. табл. 3.1).

Уровень ?/-состояний имеет пятикратное вырождение, ибо при ? = 2 магнитное квантовое число те = -2, -1,0, 1,2 имеет пять значений. На каждом ?/-уровне может находиться 10 электронов. Количество .v-, /»-, d- и прочих уровней зависит от конкретной электронной конфигурации атома.

В общем случае уровень с орбитальным квантовым числом ? имеет (21 + 1 )-кратное вырождение и на нем может расположиться 2(2/ + 1) электронов.

При помещении свободного атома во внешнее магнитное поле Н вырождение уровней снимается: каждый из них расщепляется на (2? + 1)-энергетических подуровня. При этом уровни внутренХарактеристики состояний /;, «/электронной системы первых трех групп энергетических уровней свободных атомов

Таблица 3.1

Состояние

электрона

Кратность вырождения, (2? + 1)

Число электронов, 2(2? + 1)

Число подуровней g = (2? + 1) при снятии вырождения

3 <1

5

10

3 р

3

6

3.?

1

2

2Р

3

6

2.9

1

2

1.9

1

2

них электронных оболочек, сильно взаимодействующих с ядром, испытывают слабое расщепление при действии внешнего магнитного поля Н, и им можно пренебречь.

По мере перехода к более удаленным от ядра (внешним) электронам энергия взаимодействия их с ядром уменьшается, а влияние внешнего поля усиливается.

Наиболее сильное влияние внешнего магнитного поля Н испытывают уровни внешних валентных электронов, слабо взаимодействующих с ядром и обладающих наибольшим значением полной энергии в атоме данного химического элемента.

Энергетические уровни двух невзаимодействующих атомов натрия, у которых электронным состояниям 1.у, 2.у, 2р, Ъя соответствуют потенциальные барьеры 12, С/г, ?/з, Щ

Рис. 3.3. Энергетические уровни двух невзаимодействующих атомов натрия, у которых электронным состояниям 1.у, 2.у, 2р, Ъя соответствуют потенциальные барьеры 12, С/г, ?/з, Щ

В твердом теле расстояния между атомами настолько малы, что каждый из них оказывается в силовом поле соседних атомов.

Рассмотрим модель взаимодействия атомов в кристаллической решетке натрия. Электронная конфигурация уровней атома натрия есть 1.г2.у22/?6Зх. Расположим N атомов натрия в виде пространственной решетки, но на столь больших расстояниях друг от друга, что их взаимодействием можно пренебречь. В этом случае энергетическое состояние электронов в каждом атоме можно считать аналогичным состоянию электронов в отдельном изолированном атоме.

На рис. 3.3 показана энергетическая схема двух соседних атомов натрия. Каждый из них находится на дне потенциальной ямы, образованной в результате взаимодействия электронов с ядром атома натрия. Внутри каждой потенциальной ямы находятся электронные уровни 1х, 2.У, 2р, Ъя в соответствии с электронной конфигурацией атома натрия. Энергетические уровни 1.?, 2.ч, 2р при этом заполнены целиком, уровень Зх — наполовину.

Из рис. 3.3 видно, что изолированные атомы натрия отделены друг от друга потенциальными барьерами шириной г, причем

г 3> а, где а — постоянная решетки кристаллического натрия. Высота и барьеров для электронов, находящихся на разных энергетических уровнях, различна и зависит от их расположения относительно нулевого уровня. Потенциальный барьер препятствует свободному переходу электронов от одного атома к другому. При расстоянии между атомами г = 30 А переход электрона уровня З.у от одного атома к другому может осуществиться в среднем за Ю20лет. В верхней части рис. 3.3 показаны распределения плотности вероятностей р нахождения электронов на расстоянии г от ядра атома натрия. Максимумы этих кривых соответствуют значениям радиусов боровских орбит электронов [6].

Подвергнем рассматриваемую систему из N атомов медленному однородному сжатию, не нарушая ее симметрии. По мере сближения атомов взаимодействие между ними растет, и на расстоянии, равном постоянной решетки а, возникает связанное кристаллическое состояние. При этом кривые потенциальной энергии, отмеченные сплошными, переходящими в пунктир линиями на рис. 3.4, в отличие от аналогичных кривых на рис. 3.3, частично перекрываются, уменьшая высоту и ширину потенциального барьера.

Энергетическая схема атомов натрия, находящихся на расстоянии г = а = 4,3 А (заштрихованные области — плотности вероятности нахождения электронов на расстоянии от ядра)

Рис. 3.4. Энергетическая схема атомов натрия, находящихся на расстоянии г = а = 4,3 А (заштрихованные области — плотности вероятности нахождения электронов на расстоянии от ядра)

Поэтому валентные электроны, находящиеся в состоянии З.у, получают возможность практически беспрепятственно переходить от одного атома к другому. Такие обобществленные электроны называются свободными и в совокупности образуют электронный газ.

Из-за уменьшения ширины и высоты потенциального барьера при сближении атомов свободу перемещения по кристаллу получают не только валентные Зл'-электроны, но и электроны других уровней. Перемещение электронов происходит за счет туннельного перехода сквозь потенциальные барьеры, разделяющие соседние атомы. Чем тоньше и ниже эти барьеры, тем легче осуществляется переход электронов, в результате чего они могут стать свободными.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ ОРИГИНАЛ   След >
 

Популярные страницы