Меню
Главная
Авторизация/Регистрация
 
Главная arrow Физика arrow Физика конденсированного состояния

2.4. Функции распределения вырожденных газов фермионов и бозонов

Функция распределения для вырожденного газа фермионов

была получена Э. Ферми и П. Дираком:

Здесь ц — химический потенциал вырожденного газа фермионов, который называется уровнем Ферми.

Из формулы (2.7) видно, что при Е = ц функция распределения равна /р = у при любой отличной от абсолютного нуля температуре. Со статистической точки зрения уровень Ферми — это энергетический уровень, вероятность занятия которого при всех температурах, отличных от абсолютного нуля, равна у. Функция

(2.7) называется распределением Ферми-Дирака.

Распределение электронов в металле при абсолютном нуле.

С квантовой точки зрения металл для свободных электронов является потенциальной ямой, выход из которой требует затраты энергии в виде работы по преодолению сил связи, удерживающих электроны в металле.

На рис 2.3 представлена схема энергетических уровней электронов, связанных с такой потенциальной ямой [6]. Горизонтальными линиями показаны энергетические уровни, которые могут занимать электроны.

Согласно принципу Паули на каждом уровне энергии могут находиться 2 электрона с противоположной ориентацией спинов. Если электронный газ содержит N электронов и все энергетичес-

Схема расположения и число энергетических уровней электронов в потенциальной яме с обозначением ее нулевого уровня и уровня Ферми ц

Рис. 2.3. Схема расположения и число энергетических уровней электронов в потенциальной яме с обозначением ее нулевого уровня и уровня Ферми ц

кие уровни заполнены, то последним занятым уровнем окажется уровень с номером Этот уровень с максимально возможной

энергией называется уровнем Ферми вырожденного электронного газа, или газа Ферми. Он соответствует максимальной кинетической энергии Ер, которой может обладать электрон в металле при абсолютном нуле. Эта энергия называется энергией Ферми.

На рис. 2.3 стрелками показаны ориентации электронных спинов на каждом энергетическом уровне. Из формулы (2.7) следует, что при абсолютном нуле все квантовые состояния с энергией Е < Еу заняты электронами, а состояния с энергией Е> Еу свободны.

Иначе говоря, при Т= О К вероятность заполнения электроном квантового состояния с энергией Е < Еу равна 1, а вероятность занятия квантового состояния с энергией Е > Еу равна нулю. Этот результат возможен, если считать, что ц = Еу, тогда функция Ферми-Дирака примет вид (рис. 2.4)

Рис. 2.4. Функция распределения Ферми-Дирака при абсолютном нуле температуры

Умножая значение/Р(Е) = 1 при Е < Ер на число квантовых состояний g(E)dE, получим полную статистическую функцию распределения Ферми-Дирака при абсолютном нуле

Интегрируя выражение (2.8) в пределах от 0 до Ер, имеем для энергии Ферми следующий результат:

где п = N1V.

Формула (2.9) дает возможность оценить среднее значение энергии электронов проводимости в металле при абсолютном нуле температуры (Т = О К):

Зная значения Ер и < Е >, можно определить максимальную и среднюю квадратичную скорости движения электронов в металле при абсолютном нуле температуры

Используя соотношение Т? = ЕРв, введем понятие температуры Ферми, при которой электронный газ имеет энергию теплового движения квТу, равную энергии Ферми Еу.

В табл. 2.1 приведены значения энергии Ферми, средней энергии электронного газа, максимальной и среднеквадратичной скорости движения электронов, а также температуры Ферми при абсолютном нуле для некоторых металлов [6]. Видно, что ни один металл при температуре Ту не может существовать в конденсированном состоянии. Высокие значения Ту и энергии Ферми Еу имют чисто квантовую природу и возникают из-за специфических свойств электронного газа фермионов.

Таблица 2.1

Значения энергии Ферми Еу, средней энергии электронного газа <Е>, максимальной гр и среднеквадратичной гс скорости движения электронов, а также температуры Ферми Ту для некоторых металлов при абсолютном нуле температуры

Металл

ЕР, эВ

< Е >, эВ

Гр-К) 6, м/с

ус • КГ6, м/с

ГР • 10 Л К

У

4,72

2,8

1,3

1,0

5,5

N3

3,12

1,9

1,1

0,85

3,7

Си

7,1

4,3

1,6

1,25

8,2

А-ё

5,5

3,3

1,4

1,1

6,4

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ ОРИГИНАЛ   След >
 

Популярные страницы