2.2. Числа состояний для микрочастиц. Классическая и квантовая статистики, их особенности и условия применимости

В классической механике состояние частицы определяется заданием трех координат (х, у, г) и трех компонент импульса х, ру, р~). В шестимерном фазовом пространстве точка (х, у, г, рх, ру, рг) является фазовой точкой. Величина

есть элемент объема фазового пространства; АГ у = (?хАуйг — элемент объема пространства координат; ДГ,, = ф*ф,,фг — элемент объема пространства импульсов.

Для системы невзаимодействующих частиц при отсутствии внешнего поля ДГу= V— это объем, в котором может находиться частица. Тогда в фазовом координатно-импульсном пространстве Гильберта ДГ = ГДГ,,. Частицы, находящиеся в подобном пространстве, называют свободными, их можно различать по значениям коородинат и импульсов.

Иначе обстоит дело с делением фазового пространства на элементы объема в том случае, если частица обладает квантовыми (волновыми) свойствами. Наличие волновых свойств у частицы исключает, согласно принципу неопределенности, возможность различать два фазовых состояния (х, у, г, рх, ру, р2) и (х + бх, у + Ау, г + сг,рх + йрху + дру2 + Ар,), если Агф>АгАрхАр, Ар, < (2л/г)3, где /г — постоянная Планка.

Поскольку это произведение представляет собой элемент объема шестимерного фазового пространства, то различные квантовые состояния микрочастицы возможны тогда и только тогда, когда этот объем не меньше (2лЙ)3. Поэтому в квантовой статистике за элементарную ячейку шестимерного фазового пространства принимается объем

в отличие от произвольного классического. При этом элемент трехмерного фазового пространства импульсов определяется выражением

Процесс деления фазового пространства на ячейки величины (2л/г)3 называется квантованием фазового пространства.

Плотность состояний фазового пространства. Определим число состояний, которыми обладает квантовая микрочастица в интервале энергий от Е до Е + АЕ. Проведем в пространстве импульсов 2 сферы радиусамирир + Ар (рис. 2.1). Между этими сферами находится шаровой слой объемом 4лр2Ар. Число элементарных фазовых ячеек в этом шаровом слое равно

Шаровой слой в трехмерном пространстве импульсов микрочастицы

Рис. 2.1. Шаровой слой в трехмерном пространстве импульсов микрочастицы

Каждой элементарной ячейке фазового координатно-импульсного пространства отвечает одно квантовое состояние, поэтому их полное число в интервале шириной ф, находящемся между р и р + ф, равно

где g(p) — функция плотности квантовых состояний.

Для свободных микрочастиц имеем — масса частицы) и, следовательно, Откуда для числа квантовых состояний в интервале энергий АЕ получим выражение

Таким образом, функция плотности квантовых состояний, характеризуемых значением энергии Е, будет иметь вид (рис. 2.2) Зависимость плотности числа квантовых состояний от энергии свободной микрочастицы

Рис. 2.2. Зависимость плотности числа квантовых состояний от энергии свободной микрочастицы

Иначе говоря, функция g(E) представляет собой число квантовых состояний микрочастиц, приходящееся на единичный интервал энергии [6]. В случае электронов каждой фазовой ячейке отвечает не одно, а два квантовых состояния, отличающихся друг от друга поляризацией (ориентацией) спина. Поэтому числа квантовых состояний следует удвоить и вместо выражения (2.3) записать следующее:

Поведение микрочастиц в фазовом координатно-импульсном пространстве зависит прежде всего от свойств той системы, в которой эти частицы находятся. В физических макросистемах, где квантовая природа микрообъектов не проявляет себя, т. е. одинаковые атомы и молекулы можно различать по координатам и импульсам, их поведение описывается классической статистикой Максвелла-Больцмана. В тех же системах, где проявляется квантовая природа микрообъектов, т. е. имеются дискретные спектры физических величин, неопределенность в значениях координат и импульсов из-за соотношения Гейзенберга и принципа тождественности частиц, статистика также является квантовой.

По характеру поведения все квантовые микрочастицы можно разделить на две группы: фермионы и бозоны. К фермионам относятся электроны, протоны, нейтроны и другие частицы с полуце- лым спином Уу ... . К бозонам относятся фотоны, мезоны и

другие частицы, обладающие целочисленным спином 0; 1;... .

По характеру поведения фермионы проявляют ярко выраженное стремление к «уединению». Если данное квантовое состояние уже занято фермионом, то никакой другой фермион данного типа уже не может находиться в этом состоянии. В этом заключается принцип Паули, которому подчинены все фермионы.

Напротив, бозоны обладают стремлением к «объединению». Они могут неограниченно заселять одно и то же квантовое состояние, причем делают это тем чаще, чем их больше в данном состоянии. Поэтому существуют разные квантовые статистики. Для фермионов это статистика Ферми-Дирака, для бозонов статистика Бозе-Эйнштейна.

Для того чтобы задать состояние системы, необходимо знать распределение ее термодинамических параметров, например энергии. Число частиц N с энергией Е = И(Е)6Е определяет число частиц в интервале от Е до Е + сЕ. Его можно представить в виде произведения числа состояний g(E)dE, приходящихся на интервал энергий (1Е, на вероятность заполнения этих состояний частицами ДД):

Функцию ДД) называют функцией распределения. Таким образом, задача отыскания величины М(Е) сводится к отысканию функции g(E), описывающей распределение состояний по энергиям, и функции /(??), определяющей вероятность заполнения этих состояний микрочастицами.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ ОРИГИНАЛ   След >